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2018
09.17

ノーベル賞を受賞した構造エンジニア?

Category: その他
先日の台風21号では猛烈な風が吹き荒れたため、かなりの数の構造物に被害が出たようである。大阪の梅田スカイビルではガラスが割れたと報道されていた。

ガラス窓が欠陥品でなければ、設計で想定した以上の風が吹いたことになるが、そうすると、ガラスが割れた事実から大体どれくらいの風が吹いたかを逆算することができる。

そういう時に便利な(いや、単に自己満足が得られるだけかも知れないが)のが、風によって構造物が受ける力を大雑把に求める簡便な式である。以下にそれを紹介しよう。

最大瞬間風速を V(m/sec.) とすると、1平米当たりに作用する力(kgf)は、V を 4 で割 って二乗した値に概ね等しくなる。風荷重(圧力)を W (kgf/m2) として式に書くと以下の通り。

Wind_eq1.jpg

例えば、最大瞬間風速が 40(m) なら、(40/4)^2 = 100(kgf/m2) となる。力の単位として kgf が使用されていることに注意されたい。

この式は「4で割って二乗する」だけなので覚えやすい。細かい要因は無視していて精度はよくないかも知れないが、大まかなイメージを掴むのには便利である。筆者がこの式を初めて目にしたのは構造の本ではなくて、建築計画学か建築環境学といった分野の本であったと記憶している。

主に最大瞬間風速だけに基づいて建物に作用する風荷重を決めていたのはずっと昔のことで、現在の荷重指針(文献 1 の第 6 章)を見てみると、もっといろんな要因が考慮された式になっていることが分かる。

この式中にガスト影響係数なる係数があるが、この係数は以前にも書いたように、カナダのアラン・ダペンポート(Alan G. Davenport)が提唱したものである。

指針にも説明があるように、建物に及ぼす風荷重の効果は建物自身の振動特性や風の変動の影響を受ける。ダベンポートは確率や統計の理論を用いて、これらの影響を考慮する方法を示したのである。

ダベンポートの成果は日本だけでなく ASCE 7 を始めとする世界中の指針や規準で採用されている。研究成果を実用的な形に纏めたダベンポートの功績は大きいと言っていいだろう。

余談だが、研究としてはすばらしい(はず)のものが実用的でないという例は枚挙に暇が無い。式が複雑すぎたり、理屈が難しすぎて本人以外理解できなかったりすると工学の世界では使ってもらえないのである。

レヴィとサルバドリーの本「建物が壊れる理由」にも、ガラス被害で有名なジョン・ハンコック・タワーの話の所で、風といえばこの人ということでダベンポートが登場する(文献 2 p.165)。

ジョン・ハンコック・タワーは高さ 234(m) の超高層ビルであるが、このビルは 1973 年の強風でビル外壁面のガラス千枚以上が割れる甚大な被害を受けた。ダベンポートは、このビルの風に対する応答を風洞実験で確かめることを依頼され、予想外の見解を導き出している(下記)。

建物に与える風の影響は、その構造だけでなく、建物の形状、付近の建物の形状や地形の状態に依存する。そこで風洞実験が、構造上の風問題に関する世界的権威者であるカナダのウエスターン・オンタリオ大学のアラン・ダベンポート教授へ依頼された。

この実験から、風による横変位は、パネルの破損には関係なく、むしろ居住者にとって我慢できないほどの揺れの原因になることが確かめられた。

予測されたように、これらの運動はタワーの短辺方向に大きな変位を生ずるだけでなく、全く思いがけないことに、建物が短辺方向に狭く、また部分的に菱形の平面をしていることが原因で、ねじれ運動を生じるという特徴があった。まさに、このタワーの振動を減衰させなくてはならなくなったのである。


ダベンポートは風だけでなく地震についても、世界に先駆けて確率論に基づいた地震動マップ(カナダを対象としたもの)を作成するといった業績も残している。

さて、この素晴らしい実績を残したダベンポートがノーベル賞を受賞していると言ったら驚かないだろうか。筆者は、そのように書いてある資料を読んだ時にはえらく驚いてしまった。

そんなはずはない、何かの間違いだ、と思ってよく読むと、、、何かの間違いだった。ノーベル賞(Nobel Prize)ならぬノーブル賞(Noble Prize)だったのである。

ノーベル賞はスウェーデンのノーベル財団が授与する賞だが、ノーブル賞はアメリカ土木学会(ASCE)が授与する賞である。ノーベル賞はアルフレッド・ノーベル(Alfred Nobel)が創設した賞だが、ノーブル賞はアルフレッド・ノーブル(Alfred Noble)にちなむ賞である。

どちらもアルフレッドで紛らわしい。そのせいか Noble と書くべきところを Nobel としてしまっている資料も複数ある。例えば、文献 3 には以下のような記述がある。

Within two years of his appointment he distinguished himself (and Western) when he published "Some Aspects of Wind Loading", Proc. EI.C. 1963. This paper was awarded the American Engineering Societies' Alfred Nobel Prize and the Gzowski Medal in Canada.

今回の記事の元になるものは、数年前にダベンポートについて調べた頃に書いたものだが、我ながらオチがつまらなくてボツにしてしまった。また、ダベンポートが構造エンジニアかというとそれも怪しい。今回の台風被害でダベンポートのことを思い出したので、相変わらずつまらないと思いながらも掲載することにしよう。

ノーブル賞の日本人受賞者はまだいない。誰か受賞することがあればこの賞もちょっとは日本で認知されることになるのだろうか。。。



参考文献

  1. 日本建築学会:建築物荷重指針・同解説 2015年

  2. マッシス・レヴィ マリオ・サルバドリー:建物が壊れる理由 建築技術 1995年3月

  3. G. S. Peter Castle, George S. Emmerson : Expansion & Innovation, The Story of Western Engineering 1954-1999, 2014





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2018
08.01

解析誤差のはなし(その2 テーパー付き棒を引張る問題)

Category: 構造解析
前回の記事では棒を引張る問題を有限要素法(変位法)で解く過程を辿り、分布荷重が作用したり軸剛性 EA が一定でない場合には正解が得られないことを確認した。

最後に書いた"有限要素法の碩学"とは、"ウィルソンの θ 法" などで知られるウィルソン(E. L. Wilson)のことである。ウィルソンの本(文献 1)に、この EA が一定でない棒を引張る問題が出ているので今回はその例題を採り上げてみたい。

この例題の出ている第 4 章(4. One-Dimensional Elements)の導入部には興味深いことが書かれている(拙訳と原文)。

ほとんどのエンジニアは、2次元要素と3次元要素の方が1次元骨組要素よりも格段に性能も良くて正確であるといった印象を持っているが、3次元空間のあらゆる部分で使用される non-prismatic 骨組要素が、他のどのようなタイプの有限要素と比べても、最も複雑かつ有用な要素であることは間違いないというのが、実用的な構造解析プログラムの研究開発に 40 年以上携わってきた私の主張するところである。

Most structural engineers have the impression that two- and three-dimensional finite elements are very sophisticated and accurate compared to the one-dimensional frame element. After more than forty years of research in the development of practical structural analysis programs, it is my opinion that the non-prismatic frame element, used in an arbitrary location in three-dimensional space, is definitely the most complex and useful element compared to all other types of finite elements.

Non-prismatic 要素とは、以前の記事にも書いたように、要素長さに沿って断面特性が一様ではない要素である。軸剛性 EA が一定でない棒要素や曲げ剛性 EI が一定ではないはり要素は non-prismatic 要素である。また、念のために書いておくと、はりやトラスは1次元要素、板やシェルは2次元要素、ソリッドは3次元要素である。

Non-prismatic な1次元要素は "definitely the most complex and useful element" であるとまで書かれている。かなり強い口調と言えないだろうか。

前回の記事に書いたようなことは有限要素法を使用している人たちにもあまり意識されていないと思うが、それと同様にはり要素やトラス要素を使用した骨組の解析は誰がやっても同じだろうというのが一般的な見解のようである。だが、ウィルソンも書いているように、1次元要素を用いたモデル化とはもっと奥深いものであると言ってよさそうである。

そのことを確認する端緒となるのが、下図に示す今回採り上げる例題である("4.2 Analysis of an axial element")。テーパーが付いている以外は前回の問題と同じである。

analysis_error_2_fig1.jpg

棒の長さ L = 80(in.)、材のヤング率 E = 1000(ksi)、荷重 P = 10(kips)である。ウィルソンのオリジナル問題を尊重して単位をインチやポンドのままとしているのでイメージしにくいかも知れない。

SI で書いておくと、80(in.) は 2000(mm) くらい、10(kips) は 45(N) くらいである。標準的な鋼材のヤング率は 29000(ksi) くらいなので、1000(ksi) は鋼材に比べるとかなり小さい値である。

棒の断面積 A は、長さ方向に以下のように線形変化すると仮定する。

analysis_error_2_eq1.jpg

x = 0 で A = 10(in.2)、x = 80 で A = 2(in.2) なので、

analysis_error_2_eq2.jpg

という書き方もできる。平均断面積 Aa (下添え字の a は average の意)を求めておくと、(10 + 2) / 2 = 6(in.2)となる。6(in.2)は、3870(mm2)くらいである。

前回と同じくこれを有限要素法(変位法)を用いて一要素で解くわけだが、前回の一定断面の棒では下端( j 端)の変位は以下で与えられた。

analysis_error_2_eq3.jpg

今回は断面積 A の代わりに Aa を使用すればよいので、

analysis_error_2_eq4_2.jpg

のように下端の変位が求まる。Aa を使用するのは、要素内でひずみが一定であることからひずみエネルギ計算時の体積積分が AaL となるからである。

一応確認しておこう。応力 σ とひずみ ε の間にフックの法則が成り立つので、要素のひずみエネルギは、

analysis_error_2_eq5.jpg

ここに、V は要素の体積である。ひずみを変位 u で表すと、

analysis_error_2_eq6.jpg

であるから、これを代入して、

analysis_error_2_eq7.jpg

ここに、L は要素長さ、{d} は要素の節点変位ベクトル、[K] は要素剛性マトリックスである。

求まった変位からひずみを介して応力を求めると、

analysis_error_2_eq8.jpg

が求まる。要素内で応力が一定となる結果が得られたわけだが、これはもちろん正解ではない。実際には、軸力が一定で断面積が変化することから、応力は断面積が最大の上端で最小となり、断面積が最小の下端で最大となることは容易に分かることである。

以上の結果がどれほどの誤差を含んでいるかについてはまた後日。。。


参考文献

  1. Edward. L. Wilson : Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures - A Physical Approach With Emphasis on Earthquake Engineering, Third Edition, Computers and Structures, Inc. Berkeley, California, USA, Reprint January 2002.





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2018
06.25

解析誤差のはなし

Category: 構造解析
先日の片持ちはりの問題では、はり部材を1要素でモデル化した。この例では1要素だけでも正解(厳密解)が求まる(あくまでもベルヌーイ・オイラーの仮定に基づく"はり理論"での正解だが)。

もっと精度を上げるために要素数を100まで増やそうとは誰も思わないだろうが、1要素で十分な理由については初歩的過ぎて忘れてしまっている人も多いのではないだろうか。今回はこの辺りについて復習してみよう。

片持ちはりの例では軸と曲げの両方を考える必要があったが、ここでは話を簡単にするために下図のようなフツー(均質で等断面)の棒を引張る問題をまずは考える。

analysis_error_fig1.jpg

有限要素法(変位法)で問題を解くので、長さ L の棒を1つの要素として、要素の始端を i 節点、終端を j 節点とし、i 節点から j 節点の向きに x 軸をとり、軸変位を u と書くことにする。そして、要素内変位 u(x) を x の一次式として以下のように表す。

analysis_error_eq1.jpg

軸ひずみ ε はこれを微分すればよいので、以下のように要素内で一定となる。

analysis_error_eq2.jpg

棒の断面積を A、ヤング率を E、軸応力を σ(引張を正) と書くことにすると、両端の軸力 Ni、Nj は、

analysis_error_eq3.jpg

ベクトルとマトリックスの形で書けば、

analysis_error_eq4.jpg

始端固定(ui = 0)、終端に外力 P が作用する(Nj = P)条件から、

analysis_error_eq5.jpg

となり、これを解いて

analysis_error_eq6.jpg

が求まる。

これが正解になっていることを確認するには、材料力学で学んだ棒の釣合い式を変位で表現してみればよい。長さ L の棒の一部を切り出して作用する力を書き込むと下図のようになる(ちなみにこの図は free body 図と呼ばれる)。


analysis_error_fig2_2.jpg

部材には分布荷重が作用し、部材断面積は長さ方向に一様ではないという、上記の例よりも一般的なものを想定した図としている。図中の N は軸力、px は単位長さあたりの分布荷重である。力の釣合いより、

analysis_error_eq7.jpg

これを整理して以下を得る。

analysis_error_eq8.jpg

N = σA、σ = Eε、ε = du/dx であるから N = EA du/dx である。これを代入すれば、変位で表現した釣合い式が以下のように得られる。

analysis_error_eq9.jpg

px として自重などが考えられるが、もし px = 0 で軸剛性 EA が x に依らず一定であれば、釣合い式は、

analysis_error_eq10.jpg

となる。この微分方程式を解くと、

analysis_error_eq11.jpg

C1、C2 は積分定数である。x = 0、x = L での変位をそれぞれ u0、uL とすると、C2 = u0、C1 = (uL - u0)/L が求まる。これより、変位 u は以下となる。

analysis_error_eq12.jpg

これは先の有限要素法(変位法)のアプローチで部材を1要素として要素内変位を x の一次式に置いた場合の式と一致する。つまり、先のアプローチで仮定した変位は釣合い式を満足するのである。

その他の支配方程式で乱されるものが無いことはこれまでの展開から明らかだから、正解が求まることが了解されるかと思う。

逆に言うと、もし分布荷重が作用したり軸剛性 EA が一定でなかったりする場合に同じアプローチを取るならば、得られる解はもはや正解ではないことになる。分布荷重は等価節点力として処理されるので構造全体としての釣合いが乱れるわけではないが、解くべき方程式がすり替わっていることに注意したい。

曲げの場合も同様で、記号や符号の説明は省略するが、たわみを w として元々の釣合い式は、

analysis_error_eq13.jpg

であり、分布荷重がゼロで曲げ剛性 EI が一定なら、

analysis_error_eq14.jpg

である。これを積分してたわみは 3 次多項式となる。もし分布荷重が作用したり曲げ剛性 EI が一定でなかったりする場合に 3 次のたわみを用いるなら近似解しか得られないのである。

以上のことは、文献 1 に書かれている曲げ問題の内容に軸問題を追加して多少アレンジして書いたまでである。興味のある人は、文献 1 の"5-5 変位法の簡単な応用例"を参照されたい。該当部分を以下に書き写しておこう(p.75)。

... 本節に説明した変位法による FEM は、正解ではなく、近似解を与えるものであることを付言しておきたい。このことは1つの要素内の we(x) を式 (5.73) のような三次式で近似していること、および分布外荷重 p(x) を等価節点力で置換していることからも明らかであろう。

このように分布外荷重を等価節点力で置換し、はり要素のたわみ形としては外荷重が零の場合のたわみ形を用いるため、このような FEM で得られた曲げモーメントやせん断力は節点で不連続となるのが一般的である。...

とは言っても、有限要素法(変位法)のアプローチは広く用いられているわけだし、今回のようなことは特に気にしなくてもよいのでは?と思われるかもしれない。実際、多くの人は気にしていないと思う。

だが、とある有限要素法の碩学は著書の中で今回のことを敢えて採りあげている。そういった例は他の本ではあまり見かけないが、新しい視点を得るのに有意義と思われるので、後日それを紹介しよう。


参考文献

  1. 驚津久一郎 : エネルギ原理入門 有限要素法の基礎と応用シリーズ3 培風館 1980年




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