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建築構造学事始

切れるのはどっち?

今回は構造力学というより力学のクイズを紹介しよう。

問題: 下図のように、おもりを糸で吊るし、おもりの下にも同じ素材の糸を付けて引張ったとすると、上の糸と下の糸のどちらが切れるだろうか?

但し、おもりは手でちょっと押したくらいではフラフラ動かない程度に重く、糸はおもりの重さだけで切れることはないが、人がある程度の力で引張れば切れるくらいの強さであるとする。

art199_fig.jpg


答えは.....

どちらとも言えない。つまり、どちらも起り得る。ゆっくり引っぱれば上の糸が切れるが、急に引っぱれば下の糸が切れる。

ただし、急に引っぱるといっても、おもりが軽すぎたり勢いが足りなかったりすると、下の糸は切れないかもしれない。おもりはある程度重いとしたのはそういう理由からである。

これは、文献 1 の「ひもはどこで切れるか?」という話(p.45)を殆どそのまま引用したものである(文献 1 には図が載っているが、それを模写するのが大変なので、図が作り易いように上記のように変更した)。

その部分を以下に示そう。おもりには重い本が使われ、下のひもの端には水平な定規が結ばれていてそこを引張るという設定となっている。

 ここにあげた絵のような段取りをしてください。たとえば、開いた扉の上に棒をわたし、それに、重い本の中央部をとりつけたひもを結びつけて下さい。さて、もしも、本の下にさがっているひもにつけた定規で、このひもをぐっと引っぱったとしたら、ひもはどこで切れるでしょうか - 本の上側でしょうか、それとも下側でしょうか?

 ひもは、引っぱりようによっては、本の上側でも下側でも切れます。で、もしも用心ぶかくゆっくり引っぱると、上側で切れ、威勢よく引っぱると下側で切れるのです。

 どういう理由でそうなるのでしょうか?ゆっくりと引っぱった場合に本の上側のひもが切れるというのは、本の重量がかかっているひもに、さらに引っぱる手の力が加わるためです。本の下側のひもには、手の力しか作用しません(ただし、定規やひも自身の重量は、それらが軽いので省略します)。

 急に引っぱった場合には、ちょっと様子が違ってきます。引っぱる動作が瞬間的であるため、本は目立った動きをする余裕がありません。そのため、本の上側のひもが伸びないうちに、下側のひもに全部の力がかかり、そこだけが切れるのです。

簡単すぎると思われたかもしれない。だが、静力学ばかりやっていると、設問中の"どちらが"という誘導尋問に引っかかって上の糸を選んでしまうかも知れない。

今回唐突にこのクイズを紹介したのは、前回の記事と関係がある。前回示した、質量に作用する力 P と系の抵抗力 R のことである。その話に入っていくつもりだったが、ここまでで長くなったのでまた後日。。。


参考文献

  1. ペレリマン(藤川健治 訳編):続続 おもしろい物理学 社会思想社 1974年




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独立が叫ばれる時

以前、中国大陸をぐるりと列車で旅したことがある。寝台列車であったが、席は完全な個室ではなく、カーテンを開けて寝台に腰かければ、向かいの人と膝を突き合わせるややオープンなタイプのものであった。

筆者の向かいの席には2人の白人青年が座っていた。"膝を突き合わせる"空間内にいたので自然と話をすることになり、初めひとしきりお互いのことを紹介しあった。筆者が「どちらから?」と問うと(もちろん英語で)、2人同時に「スコラン!」との答え。一瞬「?」となったが、すぐに「ああ、スコットランドか」と了解した。

「末尾の t と d の音が殆ど聞こえないなぁ」ということも気になったが、「From the U.K. とか言わないのか」ということがもっと気になった。自分達はスコットランド人であるという意識が当然のようで、むしろ無意識な自覚であるように思われた。

といったことを思い出したのは、少し前にスコットランドで独立の是非を問う国民投票が行われたことがニュースになっていた頃である。イギリスは EU からの離脱を選んだが、スコットランドは EU に残りたいらしい。

その他経済的な観点からも独立にはある程度のメリットがあるようだ。しかし、そういったこと以上にもっと深いところで民族としてのアイデンティティが独立を希求する要因のようにも思われる。

純粋に民族として独立を望むことについて理屈は飲み込めても感覚的にはよく分からない。一民族としての意識といったものが筆者にはあまりないので、「独立とか帰属とかどっちでもいいんじゃないの?」と軽く考えてしまうのである。

他人を評価する時もナショナリティーは問題ではないし、海外で活躍する日本人の話を聞くと嬉しく思う半面、その人たちが日本人として評価されているわけではなくてあくまで個人として評価されているはずだと思うのである。

一方で、ここから急に力学の話になるが、力学上の"独立"かそうでないかについては筆者は人一倍気になる方である。前回の記事で採り上げたカスチリアーノの定理に話を戻そう。

ティモシェンコの本(文献 1 "61. Strain Energy and Castigliano's Theorem" )の脚注(p.290)は以下のように続く(拙訳と原文)。

カスチリアーノは、Pi は独立な力であると述べている。このことは、釣合い式を用いて計算される反力が、ひずみエネルギ V の計算において力 Pi の関数として与えられることを意味している。

Castigliano remarks that Pi are the independent forces. This means that reactive forces, which can be calculated by using equations of statics, are given as functions of the forces Pi in calculating the strain energy V.

荷重と反力は釣合う必要があるのでお互い独立な量ではない。それで、ひずみエネルギを求める時は釣合い式を使って反力を消去(荷重で表現)しておかないといけない。この独立云々について説明を省略している材料力学の本も結構見受けられる。一方で文献 2 は(材料力学の本ではないが)このことについてかなり突っ込んだ議論を展開している。

停留問題において従属関係にある量をあたかも独立であるかのように扱える方法と言えば、ラグランジュの未定乗数法がある。文献 2 にはこのラグランジュの未定乗数法を使ってカスチリアーノの定理を一般化する方法が示されている(付録 E カスティリヤーノの定理に関する一覚書)。

... この覚書では、"Su 部分で固定"という条件をゆるめ、"物体表面はすべて Sσ 部分よりなる場合"のカスティリヤーノの定理を考えてみたい。...

上記の Su とは幾何学的な境界のことである。単純ばりを例に言えば、ピンとローラーによって拘束される部分である。Sσ とは力学的な境界のことである。つまり、荷重の作用する部分である。

ピンとローラーの拘束の代わりに反力に当たる力を作用させたものを考えるのである。釣合い式にラグランジュの未定乗数を掛けてひずみエネルギに取り込めば、反力も独立であるかのように扱えるというわけである。

これと似た話が弾性論とか連続体力学力学とか呼ばれる分野にもある。それは、ひずみエネルギ関数(単位体積当たりのひずみエネルギをひずみ成分で表したもの)と応力との関係についてである。

ひずみエネルギ関数を A と書くことにすると、以下の式が成り立つ(文献 2 の p.26 を参照。面倒なのでここではテンソルで書いているが、文献 2 の式(2.61)はテンソルではない表記で書かれている)。

independency_fig1.jpg

一方、単なる数学的操作として以下の式も成り立つ。

independency_fig2.jpg

ではこれら二式から

independency_fig3.jpg

が成り立つとしてよいだろうか?

答えは否である。ひずみは 2 階テンソルで一般には 9 つ(3×3)の成分を持つ。9 つ全てが独立な場合は良いのであるが、通常は εij = εji の対称性を仮定して議論が進められる(余談だが、湯川秀樹はこの対称性の仮定が気に食わなかったようである)。即ち、ひずみの各成分は独立ではないので、上記のような展開は許されないのである。

もう一つ、有限要素法の分野にも筆者がずっと以前から気になっている"独立"絡みの話がある。それは、仮想仕事の原理を使って剛性方程式を導く過程で出てくるものである。

要素の剛性マトリックスを [k] 、節点変位ベクトルを {d} 、節点力ベクトルを {f} で表すとすると、仮想仕事の原理から一つの要素について、

independency_fig4_2.jpg

が成り立ち(上添え字の T は転置の意味)、{δd} は任意であるので

independency_fig5.jpg

という要素剛性方程式が導かれる、としている本が多いのだがこれでいいのだろうか?

そもそも仮想仕事の原理は構造全体に対して適用されるものであるし、上記の式は構造物内の一要素についての式であるので、自由端でもない限り節点は隣りの要素と共有しているか支持部の節点のはずである。仮想変位は、要素の境界での連続性の条件と支持部での拘束の条件を満足している必要があるので、 {δd} を任意には取りえないはずである。

{δd} が任意と言えるのは、上記の式を構造全体について寄せ集めて(その時に各要素の剛性マトリックスが重ね合わされる)然るべき境界条件を課した後ということにならないだろうか?上記のような展開を許すなら、各要素の剛性マトリックスの重ね合わせといったことも出てこないことになる。

以上、かなりマニアックな内容だが、ちょっと気になる力学の"独立"についての話を書いてみた。特に後半の内容は実務には全く無関係かも知れない。。。


参考文献

  1. S. P. Timoshenko : History of Strength of Materials, 1953

  2. 驚津久一郎 : エネルギ原理入門 有限要素法の基礎と応用シリーズ3 培風館 1980年




山形鋼の断面二次モーメントを求める式

前回からの続き。前回に引き続きとても些細な内容であることを再度断っておく。

実は、前回示した"公式"は、以下に示すような山形鋼(アングル断面)の断面二次モーメントを求める際に使うと便利なのである。

art150_fig1.jpg

図の X 軸、Y 軸は、アングルのそれぞれの脚に平行で、図心を通るような軸である(これらが主軸ではないのは周知の通り)。この X 軸、Y 軸についての断面二次モーメントを前回の式を使って計算してみよう。それには下図のように考えればよい。


art150_fig2.jpg


この図の言わんとするところは、アングル断面(一番左)は真ん中の二つの図の斜線部を足したものから一番右の図の斜線部を引いたものに等しいということである。なので、前回の式 bD'3/3 を使えば、X 軸についての断面二次モーメントの式は以下のように書かれる。

art150_fig3.jpg

同様に、Y 軸についての断面二次モーメントは下式となる。

art150_fig4.jpg

これらの式は、AISC の Green Book(文献1)の 6 節(6-23 ページ)に出ているものである。6 節はいわば公式集なので解説は書かれていない。上記の説明はこの式を見て筆者が導出過程を推測したものである。

アングル断面の断面二次モーメントの計算なんて特に問題になるようなものではないが、筆者はこの式を初めて見た時に「誰が考えたのか知らないが、よくこんなこと思いついたなぁ」とえらく感心してしまった。平行軸の定理から得られるものに比べるとかなりスッキリした式になっている。前回も書いたように、この式について説明してある材料力学の本などにこれまで出会ったことが無い。

某大学のサイトで公開されていた講義資料(?)にアングル断面の断面二次モーメントの導出過程が示されていたが、その内容には逆の意味で「うーん」と唸らされてしまった。

その説明では、矩形断面の公式を使わずに断面二次モーメントの定義式(積分の式)から出発していたため、途中で計算が大変になったのか、厚み t に関する高次の項は無視できるというあらぬ仮定を導入して計算が省略されていた。

苦労した割りに得られる結果は不正確とあってはあまり褒められたものではない。取るに足らないような内容であってもちょっと工夫してみるのも大事なのではないだろうか。


参考文献

  1. AISC Manual of Steel Construction, Allowable Stress Design, Ninth Edition, 1989




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