2018
05.31

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その4)

Category: 構造解析
先日の「斜め方向の強制変位」の記事について補足。

強制変位の問題を採り上げたのは、強制変位問題も荷重を与える場合と本質的には何ら変わらないことを示したいがためであった。これは、剛性方程式 [D]{δ} = {P} は、左から [D] の逆行列をかければ、{δ} = [D]-1{P} = [C]{P} となり、2つの式の形は全く同じになることからも了解される。ここに、{P} は荷重ベクトル、{δ} は変位ベクトルであり、[D] は剛性マトリックス、[C] はたわみ性マトリックスと呼ばれる。

ただ、気を付けたいのは、ある自由度に関して何も規定しないことは、荷重をゼロに規定していることになるのに対して、変位をゼロに規定するには、その自由度を拘束しなくてはならないことである。

例えば、斜面に沿う方向に強制変位させるには、斜面直交方向を拘束する必要があるのである。斜面直交方向に何も規定しない(荷重をゼロに規定する)と、現実的にはありそうもない境界条件の問題を解いていることになる。

平面の片持ちはりとしたのは、自由度が3つ稼げるからであった。残る自由度は最大でも3であるから、手で解くこともできる。

剛性方程式を解く際は、変位や荷重のベクトルを既知成分と未知成分とに分けて、それに応じて全体剛性マトリックスを並べ替えるということが通常行われる。マトリックス演算では部分マトリックスをあたかも一つの成分と見なすことができるので、並べ替えた後の部分マトリックスや部分ベクトルを使ってスッキリと式の展開を行うことができる。

だが、自由度数の高が知れている時ははわざわざ並べ替えなくても必要な部分にだけに着目すればよい。先日の記事でも以下のように必要な行と列に帯をかけ、帯が重なった部分の成分(k44、k46、k64、k66)だけを抜き出した。

specified_disp_4_fig1.jpg

以前紹介したマーチン(H. C. Martin)のマトリックス法の教科書でもこのように帯をかける説明となっていたと記憶している。

記事の(その2)では、強制変位の並進2成分のうち一方のみを規定すると、規定しない成分の方の応答は構造物の剛性に応じて変わってくるため、変位ベクトルは一見"予想外"の方を向く結果となることを見たが、定式化によっては、並進2成分の両方(つまり変位ベクトル)を規定しても(かなり特殊な条件下では)変位ベクトルが規定した方向からずれることも起こり得る。

実は元々はこちらのケースを初めに考えていたので、今回はこの元々の話題を載せようと思っていたのだが、かなりマニアック度"大"な話なので掲載は見送ることにして、この定式化がいわゆる「ペナルティ法」と呼ばれるものであることだけを記しておこう(ここまで書けば、この方法を知っている人はボツ記事の内容がイメージできるかも知れない)。



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2018
01.28

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その3)

Category: 構造解析
前回、前々回の記事では、以下に示す 4 ケース(再掲)のうちケース 1) とケース 2) を採り上げた(u'2、v'2 は、それぞれ x'、y' 方向の変位、X'2、Y'2 は、それぞれ x'、y' 方向の力)。

変位 u'2 を規定、変位 v'2 を規定 ( ケース 1) 前々回示したもの)
変位 u'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 2) 前回示したもの )
 力 X'2 を規定、変位 v'2 を規定( ケース 3) )
 力 X'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 4) )

今回は、ケース 3) とケ ース 4) についてである。

ケース 3) で v'2 = 0 なら、ケース 1) の時と同じく「斜面上のローラー支持」を想定していることになる。ケース 1) の時と違うのは、斜面に沿う方向( x' 方向)に変位を規定するのではなく、力(記号を P としておく)を与えるのである。


specified_disp_3_fig1_2.jpg


X'2 = P、M'2 = 0、v'2 = 0 である時の節点力ベクトルと節点変位ベクトルは以下となる。

specified_disp_3_fig2.jpg

これを {F'} = [T][K][T]T{d'} に代入して、未知量である u'2 と θ'2 に関する第 4 行と第 6 行を書き出すと、

specified_disp_3_fig3.jpg

前回の表記に合わせて、荷重べクトルを右辺に持ってくるなら、

specified_disp_3_fig4.jpg

これを以下のように書く。

specified_disp_3_fig5.jpg

これより、

specified_disp_3_fig6.jpg

のように {x} が求まるのは前回と同様である。

節点力ベクトルの未知成分を求めるために、{F'} = [T][K][T]T{d'} の 1、2、3、5 行を書き出すと以下となる。

specified_disp_3_fig7.jpg

y'2 方向反力にあたる Y'2 を書き下すと、

specified_disp_3_fig8.jpg

先に求めておいた {x}( u'2 と θ'2)をこの式に代入すれば、反力 Y'2 が求まる。

P に適当な値を代入して Excel で計算した結果を以下に示す。

specified_disp_3_fig9.jpg

節点 2 における全体座標系での節点力ベクトル(X2, Y2, M2)の結果から、はり端(節点 2) は下図に示すように、ほぼ x 方向に力を受けることが分かる。


specified_disp_3_fig10.jpg


はり端に x' 方向に力を与えても y' 方向に反力が発生するので、それらの合力べクトルの方向は x' 方向を向くとは限らないのである。むしろ部材の剛性のために x' 方向からはずれてしまう。これは、強制変位を与えたケース 2) の時と同様な現象である。

最後にケース 4) であるが、これは材料力学や構造解析の本などに普通に出ている類の問題である。ただ、x' 方向に荷重を作用させるということは、暗黙に y' 方向の力はゼロに規定していることに注意したい。つまり、ケース 4) の「変位バージョン」は、ケース 2) ではなくて、並進 2 自由度とも変位を規定するケース 1) の方である。

以上見てきたように、強制変位を与える場合も力を与える場合と同じであって、解き方や結果の性質が変わるわけではない。作用方向が"斜め"である場合も、ローカル座標系を導入するなどの処理が必要になるが、強制変位と力を与える場合とで本質的に何ら変わりはない。

ただ、違いがあるとすれば実際との対応である。ケース 1)、3) は斜面上のローラー、ケース 4) は自由端が対応する。 ケース 2) の境界条件については、前回も書いたように筆者は実際上の例を思いつかないが、このような設定が必要となる場面もあるのかも知れない。



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2018
01.18

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その2)

Category: 構造解析
前回は「斜面上のローラー支持」を表現すべく節点 2 の並進変位二成分を規定した( u'2 = δ、v'2 = 0 )。通常、境界では荷重か変位のどちらかを規定するので、並進自由度に関して以下のような 4 つのパターンが考えられる。

変位 u'2 を規定、変位 v'2 を規定 ( ケース 1) 前回示したもの)
変位 u'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 2) )
 力 X'2 を規定、変位 v'2 を規定( ケース 3) )
 力 X'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 4) )

回転変位を拘束するか否かというバリエーションもあるが、話が面倒になるだけなのでここでは採り上げない。節点 2 では常に力 (モーメント) M'2 = 0 を規定することにして、まずはケース 2) について見てみよう。

3 自由度の規定を、u'2 = δ、Y'2 = 0、M'2 = 0 とすると、節点力べクトルと節点変位ベクトルは以下のように書かれる。

specified_disp_2_fig1.jpg

変位を求める上での未知量は 2 つだけなので、手で解くこともできる。{F'} = [T][K][T]T{d'} に代入して、未知量である u'2 と v'2 に関する第 5 行と第 6 行を書き下すと、

specified_disp_2_fig2.jpg

第 1 項を移行して、

specified_disp_2_fig3.jpg

これを以下のように書く。

specified_disp_2_fig4.jpg

これより、

specified_disp_2_fig5.jpg

のように {x} が求まる。

前回と同じ片持ちはり(のようなもの)を対象に Excel で解いた結果は以下の通り(ここでは逆マトリックスを使って解いているが、数値計算で連立一次方程式を解くのに通常は逆マトリックスを求めたりしないことに注意されたい)。

specified_disp_2_fig6.jpg

解として求まった {x} からローカル座標系における節点 2 の変位ベクトルが決まる。それに変換マトリックス [t]T を掛ければ、全体座標系での変位ベクトル(u2, v2, θ2)が求まる。

これを見ると、u2の値はゼロに近くて、v2 は 14(mm) ほどとなっている。つまり、変位ベクトルは下図のようにほぼ真上( y 方向)を向くことになる。この結果は予想外と思われるかもしれない。


specified_disp_2_fig7.jpg


はり端は実線の矢印の方向に変位を生じる。実線の矢印の x' 方向成分の大きさが δ である。前回の例が " x' 方向に 10(mm) の変位" を強制しているのに対して、今回のは " x' 方向の成分が 10(mm) の変位" を強制しているのである。言葉で書くと似ているようでも結果はかなり違ったものとなる。

このように、並進自由度の一方のみの変位を規定すると、もう一方の自由度の変位は剛性方程式の解として求まることになるので、変位ベクトルがどちらを向くかは式を解いてみるまでは分からない。

今回のような規定の仕方が実際上どのような状況に対応するのか筆者にはよく分からない。ただ、もし変位ベクトルが x' 方向を向くような強制変位を想定するのであれば、前回のような規定方法を採用しなければならない。

ちなみに、変位ベクトルの向きは軸剛性と曲げ剛性の関係で決まってくる。前回のケース 1) のように x' 軸方向に変位ベクトルが向くこともあり得る。v'2 = 0 としてそのような条件を求めると、

specified_disp_2_fig8.jpg

が得られる。a = 45°の場合、この比の値は 3 となる。手っ取り早くこの条件を満たす諸元としては、L = 50(mm) がある(断面のせいや幅よりも部材の長さの方が短い非現実的な部材なので、曲げ問題を解く上では不適切なものであるが)。

さて、ケース 2) のように結果のベクトルが"予想外"の方向を向くのは、変位を規定する場合に限った話ではなく、力を与える場合も同様である。それについてはまた後日。。。



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