--
--.--

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2015
02.14

たわみ角法の生みの親 アクセル・ベンディクセン

Category: 建築構造史
1914年にたわみ角法といえるものがドイツ語の本に発表されたことに触れた日本語の文献を筆者はなかなか見つけられないでいたのだが、前回の記事に対して、武藤清/二見秀雄著「趣味の構造力学」という本の中に言及箇所があるというコメントを頂いた(貴重な情報に感謝!)。

さっそく教えて頂いた書籍を入手してその部分を確認してみたので、以下にそれを示そう。武藤清と二見秀雄の対談記事で「撓角撓度法・ラーメン」というタイトルが付いている部分である。進行役は藤本盛久氏。

藤本 先生方が学生の頃の構造力学の先生は誰ですか。
武藤 佐野先生でした。
二見 佐野先生の講義は大家の講義だったし、「耐震構造の論文の内容は...」という話だったから、ラーメンの細かいことはあまり出てこなかったんだな。(略)
武藤 撓角法3)そのものも未消化のままでね。

上記の上添え字3)に対応するものとして問題の記述がある(下記)。

A.Bendixen (独)が Slope-deflection method を発表したのは大正3年。

このA.Bendixen(アクセル・ベンディクセン(Axel Bendixen))こそ、ウィルソンよりも先にたわみ角法を発案したその人である。但し、彼はドイツ人ではなくてデンマーク人である。Bendixenという綴りではなく、Bendixsenと書かれている文献もある。

この対談記事はたわみ角法が日本に入ってきたばかりの状況を伝えていて大変興味深いものである。たわみ角法に纏わる面白いエピソードも語られている。もっと紹介したいところだが、これは後回しにして今回はベンディクセンについて書くことにしよう。

日本でもベンディクセンの本が紹介されていないはずはないと思っていたのだが、その理由の一つは、前回も書いたように「ラーメン」という用語が今でも残っていることである。

いま一つは、ティモシェンコの有名な材料力学史の本 "History of strength of materials" にもこの本がたわみ角法について書かれた最初のものとして紹介されていることがある。このティモシェンコの本は日本語訳も出ているので、多くの人に読まれているはずだ。

同書の "CHAPTER XIV Theory of Structures during the Period 1900-1950" の初めの方に以下のような記述がある(拙訳)。

既に見たように、二次応力の解析では剛節点の回転角を未知量とする方が都合が良い。骨組構造物の解析に回転角を体系的に導入したのは、アクセル・ベンディクセンである。彼はいわゆるたわみ角法を展開してみせた。

We have already seen(page 322) that, when analyzing secondary stresses, it is to our advantage to take the angles of rotation of rigid joints as unkonwn quantities. A systematic use of angles of rotation in analysis of frame structures was introduced by Axel Bendixen, who developed the so-called slope-deflection method.

そして上記の "Axel Bendixen"に対応する脚注に彼の本を参照せよと書かれている(下記)。

See his book "Die Methode der Alpha-Gleichungen zur Berechnung von Rahmenkonstruktionen," Berlin, 1914.

この本のタイトルには、我々に馴染みのあるラーメンという言葉が含まれている。英語なら "The method of the alpha equations for the calculation of rigid frame structures"、日本語なら「剛節骨組構造計算のためのアルファ式法」というふうに訳せようか。

アルファとは何かというとたわみ角などの角度を表わす記号である。残念ながら(?)「アルファ式法」という言葉は日本では全く広まらなかったようだ。奇妙なことに、片やラーメン、片やスロープデフレクションメソッドなのである。

ティモシェンコの本には、ベンディクセンは出てくるがウィルソンについての言及はない。一方、ツィエンキーヴィッツ(とサムエルソン)の論文には、もう少し詳しい説明が載っていて、こちらにはウィルソンのことも出てくる。それは "2.3 節点が移動する骨組(Frames with side-sway)" と題した節にある。少し長いが以下にそれを示そう(拙訳)。

主に建築構造物に見られる剛節骨組では、二次モーメントの方法はもちろん受け入れられない。20世紀初頭には様々なタイプの橋梁や高層建築において、鉄筋コンクリートが一層活用されるようになった。

そのような構造物では、曲げの効果が支配的であり、軸力だけによる節点の変位は取るに足らないものとなる。こういった問題への対処法が1915年にウィルソンとマネーによってアラバマ州にあるイリノイ大学の紀要内で提起された。ウィルソンらはその方法を 'slope deflection' method と呼んだ。これについてはマセソンの本に詳しく書かれている。

同様の方法が1914年にデンマーク人エンジニアのアクセル・ベンディクセンによってドイツ語で書かれた本の中で発表されているが、ウィルソンとマネーはこれについては知らなかったようである。

ベンディクセン、ウィルソンとマネーのいずれも、節点が移動する場合の平面骨組について検討している。ベンディクセンは、連立方程式を小さな組に分割することで計算労力を大幅に低減する方法について述べている。それでも、ベンディクセンの提案通りに方程式の全ての組を分割するなら、方程式の全ての組の解を得るには依然として多くの労力が残される。

ベンディクセンの本はあまり読まれていないようだが、1926年に Ostenfield によって採り上げられて大きな進歩を遂げた。最終的な方程式を解く実用的な手計算については殆ど配慮されないという問題は残されたままであった。


原文は以下の通り。

For rigid joined frames which occur primarily in building structures the secondary moment approach is, of course, untenable. The beginning of the 20th century saw increased use of reinforced concrete for various types of bridges and tall buildings.

In such structures bending effects dominate, with purely axial forces causing insignificant nodal displacements. A method for dealing with such problems was presented in 1915 by Wilson and Maney in a Bulletin from the University of Illinois in Urbana. They called it the 'slope deflection' method. This is fully described in the book by Matheson.

A similar method was published in 1914 in a book written in German by the Danish engineer Axel Bendixsen, of which Wilson and Maney were apparently unaware.

Both Bendixsen and Wilson and Maney considered 2D frames with side-sway. Bendixsen described a method for splitting the system of equations into small sets and thus substantially reducing the effort of computation. Nevertheless, with the splitting of the full set of equations as proposed by Bendixsen, a lot of work remained before the solution to the full set of equations could be obtained.

Bendixsen's book does not seem to have been much read, but his ideas were taken up and developed considerably by Ostenfeld in 1926. The problem still remained that very little attention had been paid to the practical hand-solution of the final set of equations.


ウィルソンらがベンディクセンの本を知っていたのかどうか、というのは気になるところである。科学の歴史を振り返ると、同じような発明や発見が同時期に全く独立になされるというのはよくあることだ。ツィエンキーヴィッツらも「知らなかったようである(apparently unaware)」と書いている。筆者も今のところ同意見だが、ひょっとすると今後類似点が見つかるかもしれない。そうなると面白いのだが。。。


参考文献

  1. Stephen P. Timoshenko : History of strength of materials

  2. A. Samuelsson and O. C. Zienkiewicz : REVIEW History of the stiffness method, INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING Int. J. Numer. Meth. Engng 2006




スポンサーサイト
Comment:7  Trackback:0
2015
02.06

たわみ角法誕生100(+1)周年

Category: 建築構造史
たわみ角法は、構造力学で学習する内容の中でも一、二を争うメジャーなトピックではないだろうか。少なくとも構造力学とタイトルの付いた本でたわみ角法について扱っていない本は無いと思われる。

このたわみ角法、あまり意識されることは無いかも知れないが、計算道具が今のように恵まれていない時代に骨組の計算法として利用されるだけでなく、耐震設計法のあり方にも大きな影響を与えているのである。

例えば、1926年に佐野利器が行った講演「耐震構造上の諸説」については以前本ブログでも採りあげたが、この記録の中の"II 内藤博士の功績"と題した節には、たわみ角法(slope-deflection method)について述べた以下のような部分がある。

内藤博士は所謂従来説の基礎の上に立ち、矩形架構を処理する上に、米国の Wilson 教授が提唱せられたる Slope-Deflection Method を適用し、横力に対する幾多の計算を行い略算法の研究をも加え、これを普及せしめられた。建築界に対する功績というものは蓋し偉大なるものであって、余輩深くこれを感謝するものであります。

更にその基をなしたところの Wilson 教授は実に我が建築界の恩人というべきもので、私は過般、同教授に書を送り、米国において、貴方によってまかれた種は日本において、却って美しい花が咲く旨をしたため、内藤君初め数人の論文をそえて礼状を出しましたら、誠に喜んでおる旨の返事を受けました。

と、たわみ角法の提唱者 Wilson 教授を大いに賞賛している。Wilson 教授とは、以前本ブログでもちょっと採り上げたことのある Wilber M. Wilson のことである(ちなみに筆者は、θ法のウィルソンをエド・ウィルソン、たわみ角法のウィルソンをウィル・ウィルソンと勝手に呼んで区別している)。

内藤多仲が架構の横力を計算する際に用いた方法は、横力分布係数(Distribution Coefficient)の頭文字を取って「内藤のD値法」と呼ばれる。これは内藤が1922年に著した一連の論文「架構建築耐震構造論」((一)から(六)まである)で議論されていて、横力分布係数は、この中の(三)の「第二章 剛度の異なる矩形架構間に於ける横力分布の状態」で(恐らく初めて)示されたものである。

D値法と言えば、霞が関ビルの設計にも使われた「武藤のD値法」の方が馴染みがあるかも知れない。筆者も鉄筋コンクリートの本でこちらを最初に知ったのだが、何故わざわざ「武藤の」と付いているのかというと「内藤の」ものが先にあった訳である。D値法について紹介した武藤清自身による論文(英文)には、「内藤のD値法」が先にあったことがちゃんと書かれている。

余談だが、本ブログでも度々引用している Robert Reitherman が「内藤のD値法と武藤のD値法について文献を当たってみたが、違いがよく分からなかった」とぼやいていたので、「架構建築耐震構造論」は全文が英語に翻訳されていないのかもしれない。

それはさておき、たわみ角法である。

ウィルソンがたわみ角法を最初に発表したものとして多くの文献に示されているのが、イリノイ大学の紀要内に掲載された "Wind stresses in the steel frames of office buildings" というタイトルの論文である。1915年に出版されているから、今からちょうど100年前である。

たわみ角法は、現在では欠くことのできない計算手法である有限要素法の誕生にも影響を与えたとも言えそうである(有限要素法といっても定式化は一つではないが、ここで言っているのは最も一般的な方法である、変位を未知量として扱う変位法(剛性法とも言う)のことである)。

というのも、ツィエンキーヴィッツ(O. C. Zienkiewicz)によって書かれた変位法の歴史をテーマにした小論文の中には、ちゃんとたわみ角法について触れられた部分があるのである(説明するまでもなく、ツィエンキーヴィッツといえば、世界中で読まれている有限要素法の教科書の執筆者である)。

ところで、今回の記事のタイトルを"100(+1)周年"としたのは、ウィルソンに先んじて1914年にたわみ角法と同じと言ってよい計算法がドイツ語で書かれた本に発表されているからである。

だが、不思議なことにこれについて書いてある日本語の文献がなかなか見付からない。「ラーメン」という言葉が今も残っていることからも、当時のドイツ圏の影響が少なからずあったことが伺えるのだが、なぜこちらが取り上げられていないのだろうか?次回はこの辺りについて書いてみたい。


参考文献:

  1. 佐野利器 : 耐震構造上の諸説(第八回建築学会講習会講演)、1927年

  2. 内藤多仲 : 架構建築耐震構造論、1922年

  3. W M Wilson, G A Maney : Wind stresses in the steel frames of office buildings, University of Illinois Engineering Experiment Station, Bulletin 80, June, 1915



Comment:2  Trackback:0
2015
02.05

横座屈と曲げねじれ座屈

Category: 用語
前回の記事と前後する内容で蛇足かもしれないが、ついでに書いておこう。いずれも鋼構造で出てくる代表的な面外座屈を表している。

これら二つの言葉はほぼ同じ意味合いを持つが、横座屈が曲げ部材であるはりに対して用いられ、曲げねじれ座屈は柱などの圧縮部材に対して用いられる。つまり、横座屈とは軸力がゼロ(またはほぼゼロ)の特別なケースの曲げねじれ座屈である、というのが現在では一般的な使われ方というか認識のようである。

以下にそれぞれの定義などを示そう。

○ 曲げねじれ座屈

建築学用語辞典では以下のように説明されている。圧縮材ということには特に触れられていない。

曲げモーメントがある値に達して部材が横方向にたわみ、ねじりを伴って座屈する現象。強軸回りの曲げを受ける薄肉開断面材で生じやすい。

対応する英語は、flexural-torsional buckling である。AISC 360-10 の glossary に示される説明を原文と共に以下に示す。こちらは圧縮材とはっきり書かれている。

圧縮部材が断面形状の変化無く曲げとねじりを同時に生じる座屈モード
(Buckling mode in which a compression member bends and twists simultaneously without change in cross-sectional shape.)


○ 横座屈

横座屈の例として最もよく目にするのは、強軸回りに曲げを受けるH形はりのケースであろう。文献によっては、横倒れ座屈、横ねじれ座屈と書かれているものも見かけるが、横座屈という呼び方が最もポピュラーなようだ。

建築学用語辞典には、"横座屈 = 曲げねじれ座屈"とだけ書かれている。また、鋼構造座屈設計指針の"4章 梁材"にも、"横座屈(曲げねじれ座屈)"の記述がある。だが上にも書いたように、両語はイコールというよりも横座屈は曲げねじれ座屈の特別ケースと見なすのが一般的である。

横座屈に対応する英語は lateral-torsional buckling である。頭文字をとって LTB と略される場合もある。AISC 360-10 の glossary に示される説明を原文と共に以下に示す。

曲げ平面に垂直なたわみを含んだ、曲げ部材の座屈モード。たわむと同時に断面のせん断中心についてのねじれを生じる。
(Buckling mode of a flexural member involving deflection normal to the plane of bending occurring simultaneously with twist about the shear center of the cross-section.)


参考文献
ANSI/AISC 360-10 Specification for Structural Steel Buildings


Comment:0  Trackback:0
back-to-top
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。