2015
10.28

3次元問題のモールの応力円(その2)

Category: 材力、構力
前回からの続き。問題を再掲すると以下の通り。

変数 σ, t 、定数 σ1, σ2, σ3、単位ベクトル n = (n1, n2, n3) が下式を満足する時、n の向きと (σ, t ) の対応は如何?

Mohr_eq2.jpg

前回書き忘れたが、(n1, n2, n3) は、直交座標系 x1 x2 x3 での n の成分である。また、σ1 > σ2 > σ3 とする。

上記二式は、添え字の 1 と 2 を入れ替えても同じ式のままである。つまり、対称性がある。これは 1 と 3、2 と 3 についても言える。

まず、最も簡単で特別なケースである n = (n1, n2, n3) = (1, 0, 0) の場合では、上記第二式から直ちに σ = σ1 が求まり、それを第一式に代入すれば、t = 0 が求まる。

添え字 2、3 でも同様であるので、纏めると以下となる。

① (n1, n2, n3) = (1, 0, 0): σ = σ1t = 0
② (n1, n2, n3) = (0, 1, 0): σ = σ2t = 0
③ (n1, n2, n3) = (0, 0, 1): σ = σ3t = 0

これらを (σ, t ) 平面上に描くと、以下の3点となる。
art100_fig1.jpg
次に、これも特別なケースではあるが、少しだけ難しい n3 = 0 の場合を考える。この時、上記二式は以下となる。

Mohr_2_eq1_rev.jpg

n は単位ベクトルであるから、

Mohr_2_eq2.jpg

単位ベクトルの成分は、そのベクトルと各座標軸 x1、x2、x3 のなす角(それぞれ (α,β,γ)で表しておく)の方向余弦そのものであるから、n2 = cosβ を上式に代入して、

Mohr_2_eq3.jpg

これらを式(1.b)に代入して、
Mohr_2_eq4.jpg
と、なんだか見覚えのある式が得られる。

次に t を求めるのに必要な σ2 を求めておく。式(1.b)から、

Mohr_rev_eq1.jpg

これを式(1.a)に代入して σ2 を消去すれば t2 が求まるのだが、気の利いた方法も思いつかないので、手の運動だと思ってゴリゴリと計算を行うと以下のようになる。

Mohr_rev_eq2.jpg

n12 = sin2β 、n22 = cos2β を代入すると、

Mohr_rev_eq3.jpg
これより、
Mohr_2_eq7.jpg
符号が正の場合では、
Mohr_2_eq8.jpg
以上の計算の結果を纏めると、

Mohr_2_eq9.jpg
これらの式より、β が 0 から p/2 まで変化すると、σ, t は、中心が ( (σ12)/2, 0) で半径が (σ12)/2 の円(下図)の上半分の円周上を動くことが分かる。符号が負の場合では、同様に下半分となる。

Mohr_2_fig2_rev.jpg
以上は、n3 = 0 の場合であるが、n1 = 0、n2 = 0 の場合については、結果の添え字を入れ替えればよいだけだから、n1 = 0 の場合は、σ2 と σ3 によって描かれる円、n2 = 0 の場合は、σ1 と σ3 によって描かれる円が対応する。

ここまで、変数や定数の意味を特に考えずに、特別なケースについて式展開を行って式と図の対応について見た。任意方向の n の場合についてはまた後日。


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