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2015
11.16

3次元問題のモールの応力円(その3)

Category: 材力、構力
前回からの続き。問題を再掲すると以下の通り。

変数 σ, t 、定数 σ1, σ2, σ3、単位ベクトル n = (n1, n2, n3) が下式を満足する時、n の向きと (σ, t ) の対応は如何?

Mohr_eq2.jpg

x1 x2 x3 空間に単位ベクトル n を描いたものを下図に示す。ベクトルの始点を原点にとると、終点の動く範囲は単位球の表面となる。

Mohr3_fig1.jpg

ベクトルの成分の一つがゼロである

n1 = 0(x2 x3 平面上)、 n2 = 0(x3 x1 平面上)、 n3 = 0(x1 x2 平面上)

の各ケースは、図中の赤、青、緑で描かれる単位円がそれぞれ対応する。図中の β は、n と x2 軸のなす角である。

前回得られた結果から、n が上図の赤、青、緑の単位円上にある時の σ, t の軌跡を平面上に描くと以下となる。赤、青、緑は上図のものと対応している。

Mohr3_fig2.jpg

前回は、n3 = 0 の場合の詳細を見たが、もう少し一般的なケースである n3 が一定の値(ゼロも含めて)をとる場合はどうなるであろうか。

n3 が一定、つまり n と x3 軸とのなす角 γ を一定として n を x3 軸の回りにクルリと一回転させると、その軌跡は下図のような円錐となり、n の終点は、円錐の底面(といっても上下逆さまだが)にあたる円を描く。

Mohr3_fig3.jpg

最初の図に重ねると、

Mohr3_fig4.jpg

黒円と赤円の交点、黒円と青円の交点をそれぞれ A 点と B 点とし、これら二点を結ぶ円弧(図中に黒い太線で示す曲線)に対応する(σ, t )がどのような軌跡を描くかを見てみよう。

まず、A 点と B 点に対応する σ, t であるが、前回の結果を用いれば、それぞれ下図の a 点と b 点となる。このことから、求める軌跡は、これら二点を結ぶ曲線となることが予想される。

Mohr3_fig5.jpg

最初の二式から n12 と n22 を消去してみる。 n は単位ベクトルであるから、

Mohr_3_eq1.jpg

これを最初の二式に代入して n12 をまず消去すると、

Mohr_3_eq2.jpg

この二つ目の式に (σ2 + σ1) をかけたものから一つ目の式を引いて n22 を消去すると、

Mohr_3_eq3.jpg

ちょっと変形して、

Mohr_3_eq4.jpg

もうちょっと変形して、

Mohr_3_eq5_mod.jpg

今 n3 を定数と見なせば、この式は、中心が緑円と同じ((σ12)/2, 0)で、半径の二乗が (σ12)2/4 + (σ13)(σ22)n32 に等しい円である。

このことから、求める軌跡は、下図の破線で描いた円の一部(太実線で示す円弧)ということになる。

Mohr3_fig6.jpg

破線で描いた円の中心と点 b を結ぶ線分の二乗が確かに (σ12)2/4 + (σ13)(σ22)n32 となっているのかを確認してみよう。それには、高校一年生(?)で習った余弦定理を使うと簡単である。

Mohr3_fig7.jpg

上図の三角形 c2c3b の辺 c3b の二乗は、

Mohr_3_eq7.jpg

ここで、cos( p-2γ) = -cos2γ = 1 - 2cos2γ = 1 - 2n32 を式変形に使用している。

点 a の方も同様に確認できる。以上で、n3 が一定の場合の n と (σ, t ) の対応を見た。任意方向の n の場合まであと一歩であるが、今回は(図を作るのにほとほと疲れたので)ここまでにしたい。

ちなみに、今回の記事では x1 x2 x3 空間内の単位球と (σ, t) 平面上の円を描いて議論しているが、後で示すように、通常は第一象限にある八分球(つまり、0 ≦ α, β, γ ≦p/2)と、それに対応する t ≧ 0 の半円で十分であることを付記しておく。

以下は余談。

今回の記事の立体図のようなものはよく見かけるものであるが、自分で描いてみるとそれなりに大変なことが身に染みて分かった。初めは Excel を試してみたのだが、どうやら無理らしい(データ列から半球に近いものを描けるところまでは確認)ので、その後、gunuplot を検討してみたり、Google Skechup を試してみたりと、かなり試行錯誤した末、結局あきらめて Word の図形描画機能で目測を頼りに作成するという元の木阿弥(?)に落ち着いたのであった。。。



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