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2016
03.29

調和地動を受ける非減衰1質点系の応答

Category: 地震工学史
前回の記事のついでに、ダヌッソ(Arturo Danusso)が展開した震動論について軽く触れておきたい。その内容は、若干のアプローチの違いはあるものの、今日の教科書の初めの方に掲載されている「調和地動を受ける質点系の応答」や「モーダルアナリシス」とほぼ同じものである。

そこで、ダヌッソの理論について書く前に、現代の教科書の「調和地動を受ける 1 質点系の応答」の説明を先に見ておこう。柴田明徳著「最新 耐震構造解析」なら、「1・4 調和外力に対する応答 (C) 調和地動に対する過渡応答」に出ている内容である。以下で使用する記号は、同書で使われているものに合わせている。

ダヌッソは減衰を考慮していないので、ここでも非減衰系について議論することにする。そうすると、式はかなり簡単になる。

時刻 t での地動の変位( y0 )を y0 = a0 cos pt と仮定すると、系の相対変位( y )は、初期条件( t = 0 で y = 0、dy/dt = 0 )を適用して以下のように求まる。


eq1_3.jpg


ここに、ωは系の円振動数である。上式は、「最新 耐震構造解析」の式(1.90)である。だが、後での議論のために若干表現を変えてある。

地動の変位を y0 = a0 sin pt とした場合は、「最新 耐震構造解析」には出ていないが、同様な議論から以下のように求まる。


eq2.jpg


上記では変位応答しか求めていない。速度や加速度が必要になれば t で微分すればよい。非減衰系なので、加速度応答だけでよければ、運動方程式に上記の変位解を代入して求めることもできる。

ところで、地動変位を前者のような余弦に仮定すると、t = 0 で地面は既に変位していることになる。一方、後者のように正弦で置くと、t = 0 での地面の速度はゼロではないことになる。

このことは本質的にはどうでもよいことではあるが、なんとなくスッキリしないと感じる人もいるのではないだろうか。後で見るように、ダヌッソはスッキリしなかったらしく、t = 0 で地面の変位、速度ともゼロになるように配慮している。

みんな持ってる(?)メイトク先生の「最新 耐震構造解析」は、第三版が最新版のようである。筆者が所有している本は少し古いものなので、上記の節番号や式番号は第三版とは異なっているかも知れないのでご注意願いたい。

続きは後日。。。


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