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2016
08.30

末広恭二によるレイリー法の解説

Category: 構造解析
1924年(大正13年)の末広恭二の講演の記録:「構造物振動の理論及其測定法」には、末広がレイリー法について解説した部分がある((2)の(ホ)「レレー」の近似式)。

建物固有周期を求める例題が出ていたり、当時の斯界のレイリー法の認識に対する批判が述べられていたりでなかなか興味深いので、以下に概要を示しておこう。

末広は、建物固有周期だけを求めるのであれば、レイリーの近似式で簡単に求めることが出来ると述べた後に、レイリー法の基になる原理を以下のように説明している(旧漢字など一部の表記を変更している。以下同様)。

この近似式の基づく所は、弾性体が振動をする時震動がその最大振幅に到達した(即ち振動の速度が零)瞬間における弾性仕事は、中立位置を通過する(即ち歪が零)瞬間の顕勢力に等しいという原理を応用したものであります。

「顕勢力」とは運動エネルギーのことである。つまり、これは(外力や減衰のない孤立系での)エネルギー保存則のことを指している。

続いて、レイリー法の"ミソ"について説明している。

しかしこの弾性仕事も顕勢力もその振動する弾性体の振動による変形(normal function)が分からなければ正確に計算することは出来ません。然るに「レレー」はこの変形が多少実際と違っても周期に大なる影響が無いこと(数学的にいえば形の小変化に対し周期の値は stationary であること)を証明しましたから、変形は正確なる理論を辿らなければ分からぬものであるに関わらず、それにかまわずに変形を合理的に仮定して計算をすれば良いのであります。

レイリー法では、仮定する固有ベクトルの誤差のオーダーを ε とすると、求まる固有値の誤差のオーダーは ε2 となることが示される。固有ベクトルをややいい加減に仮定しても、それなりの精度の固有値が得られるというわけである。

例題として示してあるのは、下図のような三層建物のせん断振動の周期を求める問題である。各階高を l、各床の自重と積載荷重を W、壁の単位高さあたりの重さを w としている。


3-story model

末広の言う"最大弾性仕事"、"最大顕勢力"は、それぞれ弾性ポテンシャルエネルギーの最大値、運動エネルギーの最大値と言い換えてもいいかと思うが、それらを Vmax、 Tmax と書くことにすると、

Ray_eq1.jpg

Ray_eq2.jpg

式中の p は、円振動数(=2π/T)である。Vmax = Tmax と置いて p2 について解けば以下が得られる(式(39))。

Ray_eq5.jpg

たわみ y(一次のモード形状)は、横に重力を受けた時のせん断たわみに等しいと仮定し、せん断応力(原文はせん断内力)は断面に一様に分布しているとすると、

Ray_eq6.jpg

ここに、Fx はせん断力、A は壁の断面積(一様とする)、μ は剛性率(筆者に馴染みのある呼び方と記号で書くなら、せん断弾性係数 G )である。

材料力学で学ぶように、せん断応力は断面に一様分布していない。だが、今はそんなことは気にしなくてよいのである。末広は以下のように書いている。

正確にいえばせん断内力(せん断応力のこと)は断面積(原文は截面積)に一様に分布されはせぬからこれに 6/5 なる係数を乗ぜねばならぬが、近似式を用ゆる際にはそんな細かな校正はいらぬことであります。目が一尺もある網を用いてその一部だけへ白魚の網を張ったところが白魚は獲れはしませぬ。

y を求めると、

0より1までの間
Ray_eq7.jpg

1より2までの間
Ray_eq8.jpg

2より3までの間
Ray_eq9.jpg

これらの式とこれらの式から求まる y 1、y 2、y 3 を式(39)に代入して計算すると、以下が得られる(式(40))。

eq10.jpg

式中の A については以下のようにすると良いとある。

この式において A は建物の壁の如何なる部分を取るべきかが問題でありますが、梁のせん断内力は web だけに集中していると考えてよろしいのでありますから、振動の方向により web に当たる部分の壁、即ち振動をなす方向に平行な壁だけの面積を取ればよろしかろうと思われます。

式(39)から式(40)を求めるのは面倒であるが、末広は以下のように書いている。

上式より求めて(39)の式に入れれば手数だけはかなり面倒でありますが、単に機械的に運算をするだけで次の式(式(40)のこと)に到着することが出来ます。

この式(40)をチェックするくらいの計算は、数学者や理論物理学者には朝飯前かも知れないが、お盆休み中で気の緩んでいる工学系の人間には荷が重い。ここはズボラをするに如くはなしということで、式(40)の串団子バージョンを考えることにする。

w = 0 として、

eq11.jpg

W/g = m(床質量)、Aμ/l = k(層剛性)と置くと、

eq12.jpg

逆数を取って振動数 f を求めると、

eq13.jpg

この結果を正解と比べてみよう。

3 自由度せん断質点系で m1 = m2 = m3、k1 = k2 = k3 の場合の固有振動数、固有ベクトルがどこかに出てないかと文献を探すと、、、ありました。応答スペクトル法の Gupta Method で知られるグプタ(A. K. Gupta)の本にちゃんと出ているのを見つけた。

1次モードの振動数は(文献1、p.9、Fig.1.7)、

eq14.jpg

であるから、レイリー法の結果はそれなりのものであることが分かる。尚、レイリー法で得られる振動数は正解よりも必ず大きくなることが示される。

1次のモード形を"横に重力を受けた時のせん断たわみ"と仮定して固有値を求めたが、文献1 に示される"正解"を書き写すと以下の通り。

mode1.jpg


冒頭にも書いたが、斯界のレイリー法の解釈に対して末広恭二は一言しておきたかったらしい(下記)。

ついでにちょっと申し述べておきたいことは、近頃この方法が実際上に応用され来ったため、ままこれに関する議論を耳にしますから、一二私の聴き込んだ説に対し批評を試みておくのも全く無用のことでもなかろうと思われます。

第一は「レレー」の法を応用するに当たって、変形に対し仮定をするよりも加速度の分布を仮定する方が正確であるという説であります。これは全然誤った説であります。


単振動の場合は、加速度の分布を仮定しても同じである。これを拡大解釈するような傾向が当時あったということであろうか。内容は異なるが、疑似加速度応答の適用について連想してしまった。

次なる批判は以下の通り。

第二には正確に計算し得る場合に対してある変形を仮定しそれから得た答えが理論的に得たものと極めてよく合致するから、一般にそのような仮定が正しいという断定でありまする。

これはちょうど近似積分をするときに、正確な積分値と「シンプソン」法による近似値が、ある一つの場合に極めて正確に例えば1%まで合って、「チェビチェフ」法によったらその場合2%違ったからいつでも「シンプソン」法に依るべしという様な議論で、元来の「レレー」法の主旨を没却した説であります。

この説の提唱者の根拠とする専門的な内容が不明なので詳細は分からないが、後半の「シンプソン」の例から推すと、目黒のさんまの殿様の主張のようなものに過ぎなかったのかも知れない。

さらに材料力学の本への言及もある。

尚今一言添えておきたいことは、ドイツの材料力学の本においてはまま(例えば H. Lorenz Technische Elastizitaetslehre の六六九ページ)Rayleigh が例題として示した場合のみを「レレー」近似法であるが如く書いてあるため、そう誤解している人がある様ですが、それは間違いで「レレー」は周期の値が stationary であることを一般的に説明したので、適当に変形を仮定して近似的に周期を算出するのはいずれも「レレー」法であります。ここらに「レレー」の偉大さが現れているのであります。

この「ドイツの材料力学の本」の記述が誤っていたのか、紛らわしい書き方がされていただけなのか筆者は確認していない。ただ、このような専門を共有する人の解釈違いというのはたまに目にすることである。「○○の本に書いてある。」「いや、○○はそんなことは言っていない。」といった専門誌上での討論がそれである。

以上、レイリー法で固有値を求めることについて長々と書いてしまった。レイリー自身の示している例題に話を繋げるつもりであったが力尽きてしまった。それはまたの機会に。。。



参考文献

  1. A. K. Gupta : Response Spectrum Method In Seismic Analysis and Design of Structures, CRC. Press, 1992



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