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2018
01.14

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その1)

Category: 構造解析
平面片持ちはりの先端に斜め方向に強制変位 δ を与える問題を考えてみよう。


specified_disp_fig1_2.jpg

本記事のタイトルに "のようなもの" と付けたのは、変位を規定する場合も片持ちはりと言ってよいか自信がないからである。例えば、変位をゼロに規定する場合を考えると、その向きに動かないように拘束していることになるので、もはや "片持ち" ではない。。。

"のようなもの" は、この一抹のためらいを表現しているのである。ニュースでよく聞く "バールのようなもの" を真似たわけではない。

一方、"斜め方向" や "強制変位" には実はあまり必然性はない。力学における境界の問題を単にそういう切り口で見てみようというだけのことである。

以下での議論のために、上図に示すように全体座標系 (x, y) とローカル座標系 (x', y') を設定する。プライムは微分ではなくてローカル座標におけるものを表していることに注意されたい。

下図に示す軸力と曲げを考慮した平面部材要素を用いてこの問題を解くことにしよう。E、A、I、L は、それぞれ、ヤング率、断面積、断面二次モーメント、部材長さである。左端を節点 1、右端を節点 2 とする。


specified_disp_fig2.jpg


要素両端の節点力 (X, Y, M) と節点変位 (u, v, θ) の関係は、大抵の有限要素法の本に出ている通り以下のような式で与えられる。

specified_disp_fig3.jpg

これを以下のように書く。

specified_disp_fig4.jpg

定式化の方法は幾つか考えられるが、節点 2 の節点変位と節点力をローカル座標系で表す方針で進めていこう。ローカル座標系での節点変位ベクトルを全体座標系での節点変位ベクトルで表すと以下となる。

specified_disp_fig5_2.jpg

節点 1 は変換の必要は無いので、節点 1、2 を纏めて書けば、

specified_disp_fig6.jpg

ここに、[I] は 3×3 の単位マトリックス、[0] は 3×3 のゼロマトリックスである。これを以下のように書く。

specified_disp_fig7.jpg

両辺に左から [T] の逆マトリックスをかければ、

specified_disp_fig8.jpg

ここで、[T] は直交マトリックスなので、逆マトリックスは転置マトリックスに等しいことを利用している。

節点力についても同様に、

specified_disp_fig9.jpg

これらを最初の式( {F} = [K]{d} )に代入すると、

specified_disp_fig10.jpg

両辺に左から [T] をかけて、

specified_disp_fig11.jpg

が得られる。

ここから Excel にでも頼って計算を進めると楽だが、もう少し辛抱して手計算を続けよう。[T][K][T]T をゴリゴリと求めると以下となる。

specified_disp_fig12.jpg

x' 軸方向に変位する場合の境界条件は、回転がフリーなら下図のような斜面上のローラー支持に対応する。このような傾斜支持の条件は実際問題として時に出くわすものだと思う。


specified_disp_fig13_2.jpg


斜面と直交する方向( y' 方向)は拘束(変位ゼロに規定)される。つまり、u'2 = δ、v'2 = 0 であり、全体座標系で書けば、u2 = δcos a、v2 = δsin a である。この場合をケース 1) としておく。

節点 2 における 3 自由度の規定は、u'2 = δ、v'2 = 0、M'2 = 0 となり、節点力ベクトルと節点変位ベクトルは以下のようになる。

specified_disp_fig14.jpg

これを、{F'}=[T][K][T]T {d'} に代入して解けばよい。変位を求めるだけなら、未知量は θ'2 の一つだけなので解くのは容易である。第 6 行目の式だけを書き下すと以下となる。

specified_disp_fig15.jpg

これを解いて以下を得る。

specified_disp_fig16.jpg

部材の断面を幅 b、せい D の矩形断面として適当な部材諸元を設定し、適当な値(δ = 10 mm、a = 45°)を代入して Excel で計算を行った結果を以下に示している。

specified_disp_fig17_2.jpg

以上が"斜面上のローラー支持"を想定して強制変位を与えた場合(ケース 1))の結果である。別の境界条件とした場合については後日。。。


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