2018
01.18

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その2)

Category: 構造解析
前回は「斜面上のローラー支持」を表現すべく節点 2 の並進変位二成分を規定した( u'2 = δ、v'2 = 0 )。通常、境界では荷重か変位のどちらかを規定するので、並進自由度に関して以下のような 4 つのパターンが考えられる。

変位 u'2 を規定、変位 v'2 を規定 ( ケース 1) 前回示したもの)
変位 u'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 2) )
 力 X'2 を規定、変位 v'2 を規定( ケース 3) )
 力 X'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 4) )

回転変位を拘束するか否かというバリエーションもあるが、話が面倒になるだけなのでここでは採り上げない。節点 2 では常に力 (モーメント) M'2 = 0 を規定することにして、まずはケース 2) について見てみよう。

3 自由度の規定を、u'2 = δ、Y'2 = 0、M'2 = 0 とすると、節点力べクトルと節点変位ベクトルは以下のように書かれる。

specified_disp_2_fig1.jpg

変位を求める上での未知量は 2 つだけなので、手で解くこともできる。{F'} = [T][K][T]T{d'} に代入して、未知量である u'2 と v'2 に関する第 5 行と第 6 行を書き下すと、

specified_disp_2_fig2.jpg

第 1 項を移行して、

specified_disp_2_fig3.jpg

これを以下のように書く。

specified_disp_2_fig4.jpg

これより、

specified_disp_2_fig5.jpg

のように {x} が求まる。

前回と同じ片持ちはり(のようなもの)を対象に Excel で解いた結果は以下の通り(ここでは逆マトリックスを使って解いているが、数値計算で連立一次方程式を解くのに通常は逆マトリックスを求めたりしないことに注意されたい)。

specified_disp_2_fig6.jpg

解として求まった {x} からローカル座標系における節点 2 の変位ベクトルが決まる。それに変換マトリックス [t]T を掛ければ、全体座標系での変位ベクトル(u2, v2, θ2)が求まる。

これを見ると、u2の値はゼロに近くて、v2 は 14(mm) ほどとなっている。つまり、変位ベクトルは下図のようにほぼ真上( y 方向)を向くことになる。この結果は予想外と思われるかもしれない。


specified_disp_2_fig7.jpg


はり端は実線の矢印の方向に変位を生じる。実線の矢印の x' 方向成分の大きさが δ である。前回の例が " x' 方向に 10(mm) の変位" を強制しているのに対して、今回のは " x' 方向の成分が 10(mm) の変位" を強制しているのである。言葉で書くと似ているようでも結果はかなり違ったものとなる。

このように、並進自由度の一方のみの変位を規定すると、もう一方の自由度の変位は剛性方程式の解として求まることになるので、変位ベクトルがどちらを向くかは式を解いてみるまでは分からない。

今回のような規定の仕方が実際上どのような状況に対応するのか筆者にはよく分からない。ただ、もし変位ベクトルが x' 方向を向くような強制変位を想定するのであれば、前回のような規定方法を採用しなければならない。

ちなみに、変位ベクトルの向きは軸剛性と曲げ剛性の関係で決まってくる。前回のケース 1) のように x' 軸方向に変位ベクトルが向くこともあり得る。v'2 = 0 としてそのような条件を求めると、

specified_disp_2_fig8.jpg

が得られる。a = 45°の場合、この比の値は 3 となる。手っ取り早くこの条件を満たす諸元としては、L = 50(mm) がある(断面のせいや幅よりも部材の長さの方が短い非現実的な部材なので、曲げ問題を解く上では不適切なものであるが)。

さて、ケース 2) のように結果のベクトルが"予想外"の方向を向くのは、変位を規定する場合に限った話ではなく、力を与える場合も同様である。それについてはまた後日。。。


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