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2018
01.28

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その3)

Category: 構造解析
前回、前々回の記事では、以下に示す 4 ケース(再掲)のうちケース 1) とケース 2) を採り上げた(u'2、v'2 は、それぞれ x'、y' 方向の変位、X'2、Y'2 は、それぞれ x'、y' 方向の力)。

変位 u'2 を規定、変位 v'2 を規定 ( ケース 1) 前々回示したもの)
変位 u'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 2) 前回示したもの )
 力 X'2 を規定、変位 v'2 を規定( ケース 3) )
 力 X'2 を規定、 力 Y'2 を規定( ケース 4) )

今回は、ケース 3) とケ ース 4) についてである。

ケース 3) で v'2 = 0 なら、ケース 1) の時と同じく「斜面上のローラー支持」を想定していることになる。ケース 1) の時と違うのは、斜面に沿う方向( x' 方向)に変位を規定するのではなく、力(記号を P としておく)を与えるのである。


specified_disp_3_fig1_2.jpg


X'2 = P、M'2 = 0、v'2 = 0 である時の節点力ベクトルと節点変位ベクトルは以下となる。

specified_disp_3_fig2.jpg

これを {F'} = [T][K][T]T{d'} に代入して、未知量である u'2 と θ'2 に関する第 4 行と第 6 行を書き出すと、

specified_disp_3_fig3.jpg

前回の表記に合わせて、荷重べクトルを右辺に持ってくるなら、

specified_disp_3_fig4.jpg

これを以下のように書く。

specified_disp_3_fig5.jpg

これより、

specified_disp_3_fig6.jpg

のように {x} が求まるのは前回と同様である。

節点力ベクトルの未知成分を求めるために、{F'} = [T][K][T]T{d'} の 1、2、3、5 行を書き出すと以下となる。

specified_disp_3_fig7.jpg

y'2 方向反力にあたる Y'2 を書き下すと、

specified_disp_3_fig8.jpg

先に求めておいた {x}( u'2 と θ'2)をこの式に代入すれば、反力 Y'2 が求まる。

P に適当な値を代入して Excel で計算した結果を以下に示す。

specified_disp_3_fig9.jpg

節点 2 における全体座標系での節点力ベクトル(X2, Y2, M2)の結果から、はり端(節点 2) は下図に示すように、ほぼ x 方向に力を受けることが分かる。


specified_disp_3_fig10.jpg


はり端に x' 方向に力を与えても y' 方向に反力が発生するので、それらの合力べクトルの方向は x' 方向を向くとは限らないのである。むしろ部材の剛性のために x' 方向からはずれてしまう。これは、強制変位を与えたケース 2) の時と同様な現象である。

最後にケース 4) であるが、これは材料力学や構造解析の本などに普通に出ている類の問題である。ただ、x' 方向に荷重を作用させるということは、暗黙に y' 方向の力はゼロに規定していることに注意したい。つまり、ケース 4) の「変位バージョン」は、ケース 2) ではなくて、並進 2 自由度とも変位を規定するケース 1) の方である。

以上見てきたように、強制変位を与える場合も力を与える場合と同じであって、解き方や結果の性質が変わるわけではない。作用方向が"斜め"である場合も、ローカル座標系を導入するなどの処理が必要になるが、強制変位と力を与える場合とで本質的に何ら変わりはない。

ただ、違いがあるとすれば実際との対応である。ケース 1)、3) は斜面上のローラー、ケース 4) は自由端が対応する。 ケース 2) の境界条件については、前回も書いたように筆者は実際上の例を思いつかないが、このような設定が必要となる場面もあるのかも知れない。


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