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2018
05.31

斜め方向の強制変位を受ける片持ちはりのようなもの(その4)

Category: 構造解析
先日の「斜め方向の強制変位」の記事について補足。

強制変位の問題を採り上げたのは、強制変位問題も荷重を与える場合と本質的には何ら変わらないことを示したいがためであった。これは、剛性方程式 [D]{δ} = {P} は、左から [D] の逆行列をかければ、{δ} = [D]-1{P} = [C]{P} となり、2つの式の形は全く同じになることからも了解される。ここに、{P} は荷重ベクトル、{δ} は変位ベクトルであり、[D] は剛性マトリックス、[C] はたわみ性マトリックスと呼ばれる。

ただ、気を付けたいのは、ある自由度に関して何も規定しないことは、荷重をゼロに規定していることになるのに対して、変位をゼロに規定するには、その自由度を拘束しなくてはならないことである。

例えば、斜面に沿う方向に強制変位させるには、斜面直交方向を拘束する必要があるのである。斜面直交方向に何も規定しない(荷重をゼロに規定する)と、現実的にはありそうもない境界条件の問題を解いていることになる。

平面の片持ちはりとしたのは、自由度が3つ稼げるからであった。残る自由度は最大でも3であるから、手で解くこともできる。

剛性方程式を解く際は、変位や荷重のベクトルを既知成分と未知成分とに分けて、それに応じて全体剛性マトリックスを並べ替えるということが通常行われる。マトリックス演算では部分マトリックスをあたかも一つの成分と見なすことができるので、並べ替えた後の部分マトリックスや部分ベクトルを使ってスッキリと式の展開を行うことができる。

だが、自由度数の高が知れている時ははわざわざ並べ替えなくても必要な部分にだけに着目すればよい。先日の記事でも以下のように必要な行と列に帯をかけ、帯が重なった部分の成分(k44、k46、k64、k66)だけを抜き出した。

specified_disp_4_fig1.jpg

以前紹介したマーチン(H. C. Martin)のマトリックス法の教科書でもこのように帯をかける説明となっていたと記憶している。

記事の(その2)では、強制変位の並進2成分のうち一方のみを規定すると、規定しない成分の方の応答は構造物の剛性に応じて変わってくるため、変位ベクトルは一見"予想外"の方を向く結果となることを見たが、定式化によっては、並進2成分の両方(つまり変位ベクトル)を規定しても(かなり特殊な条件下では)変位ベクトルが規定した方向からずれることも起こり得る。

実は元々はこちらのケースを初めに考えていたので、今回はこの元々の話題を載せようと思っていたのだが、かなりマニアック度"大"な話なので掲載は見送ることにして、この定式化がいわゆる「ペナルティ法」と呼ばれるものであることだけを記しておこう(ここまで書けば、この方法を知っている人はボツ記事の内容がイメージできるかも知れない)。


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