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2018
08.01

解析誤差のはなし(その2 テーパー付き棒を引張る問題)

Category: 構造解析
前回の記事では棒を引張る問題を有限要素法(変位法)で解く過程を辿り、分布荷重が作用したり軸剛性 EA が一定でない場合には正解が得られないことを確認した。

最後に書いた"有限要素法の碩学"とは、"ウィルソンの θ 法" などで知られるウィルソン(E. L. Wilson)のことである。ウィルソンの本(文献 1)に、この EA が一定でない棒を引張る問題が出ているので今回はその例題を採り上げてみたい。

この例題の出ている第 4 章(4. One-Dimensional Elements)の導入部には興味深いことが書かれている(拙訳と原文)。

ほとんどのエンジニアは、2次元要素と3次元要素の方が1次元骨組要素よりも格段に性能も良くて正確であるといった印象を持っているが、3次元空間のあらゆる部分で使用される non-prismatic 骨組要素が、他のどのようなタイプの有限要素と比べても、最も複雑かつ有用な要素であることは間違いないというのが、実用的な構造解析プログラムの研究開発に 40 年以上携わってきた私の主張するところである。

Most structural engineers have the impression that two- and three-dimensional finite elements are very sophisticated and accurate compared to the one-dimensional frame element. After more than forty years of research in the development of practical structural analysis programs, it is my opinion that the non-prismatic frame element, used in an arbitrary location in three-dimensional space, is definitely the most complex and useful element compared to all other types of finite elements.

Non-prismatic 要素とは、以前の記事にも書いたように、要素長さに沿って断面特性が一様ではない要素である。軸剛性 EA が一定でない棒要素や曲げ剛性 EI が一定ではないはり要素は non-prismatic 要素である。また、念のために書いておくと、はりやトラスは1次元要素、板やシェルは2次元要素、ソリッドは3次元要素である。

Non-prismatic な1次元要素は "definitely the most complex and useful element" であるとまで書かれている。かなり強い口調と言えないだろうか。

前回の記事に書いたようなことは有限要素法を使用している人たちにもあまり意識されていないと思うが、それと同様にはり要素やトラス要素を使用した骨組の解析は誰がやっても同じだろうというのが一般的な見解のようである。だが、ウィルソンも書いているように、1次元要素を用いたモデル化とはもっと奥深いものであると言ってよさそうである。

そのことを確認する端緒となるのが、下図に示す今回採り上げる例題である("4.2 Analysis of an axial element")。テーパーが付いている以外は前回の問題と同じである。

analysis_error_2_fig1.jpg

棒の長さ L = 80(in.)、材のヤング率 E = 1000(ksi)、荷重 P = 10(kips)である。ウィルソンのオリジナル問題を尊重して単位をインチやポンドのままとしているのでイメージしにくいかも知れない。

SI で書いておくと、80(in.) は 2000(mm) くらい、10(kips) は 45(N) くらいである。標準的な鋼材のヤング率は 29000(ksi) くらいなので、1000(ksi) は鋼材に比べるとかなり小さい値である。

棒の断面積 A は、長さ方向に以下のように線形変化すると仮定する。

analysis_error_2_eq1.jpg

x = 0 で A = 10(in.2)、x = 80 で A = 2(in.2) なので、

analysis_error_2_eq2.jpg

という書き方もできる。平均断面積 Aa (下添え字の a は average の意)を求めておくと、(10 + 2) / 2 = 6(in.2)となる。6(in.2)は、3870(mm2)くらいである。

前回と同じくこれを有限要素法(変位法)を用いて一要素で解くわけだが、前回の一定断面の棒では下端( j 端)の変位は以下で与えられた。

analysis_error_2_eq3.jpg

今回は断面積 A の代わりに Aa を使用すればよいので、

analysis_error_2_eq4_2.jpg

のように下端の変位が求まる。Aa を使用するのは、要素内でひずみが一定であることからひずみエネルギ計算時の体積積分が AaL となるからである。

一応確認しておこう。応力 σ とひずみ ε の間にフックの法則が成り立つので、要素のひずみエネルギは、

analysis_error_2_eq5.jpg

ここに、V は要素の体積である。ひずみを変位 u で表すと、

analysis_error_2_eq6.jpg

であるから、これを代入して、

analysis_error_2_eq7.jpg

ここに、L は要素長さ、{d} は要素の節点変位ベクトル、[K] は要素剛性マトリックスである。

求まった変位からひずみを介して応力を求めると、

analysis_error_2_eq8.jpg

が求まる。要素内で応力が一定となる結果が得られたわけだが、これはもちろん正解ではない。実際には、軸力が一定で断面積が変化することから、応力は断面積が最大の上端で最小となり、断面積が最小の下端で最大となることは容易に分かることである。

以上の結果がどれほどの誤差を含んでいるかについてはまた後日。。。


参考文献

  1. Edward. L. Wilson : Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures - A Physical Approach With Emphasis on Earthquake Engineering, Third Edition, Computers and Structures, Inc. Berkeley, California, USA, Reprint January 2002.




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