2014
01.26

絶対なんてものは絶対にない!(θ法の奇妙な振る舞い)

Category: 建築構造史
たわみ角法のウィルソンは、当然のことながら故人であるが、θ法のウィルソンの方はまだご存命のようである。生まれた年から計算すると今年で83歳である。

既に歴史上の人物のような感があるから少し驚きだが、もっと驚くのは、彼の指導教官でもあり、有限要素法の創始者でもあるクラフ(R. W. Clough)も94歳でどうやらご存命なことだ。アメリカ西海岸で有限要素法を研究していると長命となるのであろうか?

それはさておき、前回からの小難しい話の続き。

θ法では θ = 1.4 が推奨されていると書いたが、積分の時間間隔の方はというと、検討する最高次モードの周期の1/10が経験的によく用いられる。ウィルソンの論文では、非減衰系で検討した結果として、1/100で十分に正確、1/5より大きくすると誤差が非常に大きくなることが示されている。

周期の1/10まで時間間隔を小さくしても低次モードの精度は十分とは言い切れないところが、θ法が淘汰されてしまった一因であると思われる。

もう一つθ法には大きな欠点といえるものがある。線形問題だと、θ≧1.37で無条件安定であると書いたが、これで安心してはいけない。θ法は条件によってはオーバーシュート(overshoot)という奇妙な挙動を示すことが知られている。

この現象は、1972年にGoudreauとTaylorによって見つけられたものであるが、オーバーシュートとは、時刻歴解析の初めの数ステップで明らかにおかしい非常に大きな応答値が得られる現象のことである。無条件安定だからといって、“絶対に安定”な訳ではないのだ。

ウィルソン自身によって書かれた有限要素法の教科書的な本などに、オーバーシュートの例を扱ったものがあるが、その分析について詳しく書かれている本は、筆者の知る範囲では見当たらない。なので、以下に簡単ではあるが概要を書いておきたい。

数値積分手法の安定性は、ある時間での状態量(変位、速度、加速度のこと)とその次の時間ステップでの状態量を関係づけるマトリックス(amplification matrix = Aマトリックス)のスペクトル半径で議論される。安定性は、スペクトル半径の大きさで判定できる。ウィルソンの論文でもそのようにして安定性が検討されている。

だが、この検討結果が無条件安定であってもオーバーシュートは起き得るのである。オーバーシュートの検討は、スペクトル半径ではなく、Aマトリックスのノルムを調べる必要のあることが、HilberとHughesの論文に示されており、分かりやすい簡単な例も示してあるので、詳細に興味のある方はそちらを参照されたい。

尚、本稿のタイトルは、阿川佐和子氏が父親の阿川弘之氏から聞かされた言葉として、ずっと以前に新聞か何かに書いておられたものである。さすがは作家うまいことを言う、と感心してしまったと同時に、プログラミングで出てくる“再帰的呼び出し”を思い出してしまった。。。

参考文献:
E. L. Wilson : Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures, 1995.
E. L. Wilson, I. Farhoomand and K. J. Bathe : Nonlinear Dynamic Analysis of Complex Structures, 1973.
G.L. Goudreau, R.L. Taylor : Evaluation of numerical integration methods in elastodynamics, 1972.
H. M. Hilber, T. J. R. Hughes : Collocation dissipation and 'overshoot' for time integration schemes in structural dynamics, 1978.

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