2015
03.19

あまり意地悪ではない?問題

Category: 材力、構力
たわみ角法そっちのけで、前回と同じような問題をもう一つ。

鉛直方向の荷重を受ける、断面が正方形のはりを考える。断面の配置を以下の三通りとした時、最もたわみが大きく出るのはどのケースか?但し一番右のケースは、一番左の断面を反時計回りに7度だけ回転させているとする。

SquareSec2.jpg

前回の問題は計算する気が起きなかったかも知れないが、今回のなら材料力学の本を持ち出して来て、断面二次モーメントの座標変換式を見直す気になるのではないだろうか?そうすると、断面をどう傾けようと断面二次モーメントが一定(図心を通る任意軸回りの断面二次モーメントが一定)であることに気付くと思われる。

つまり、上記のいずれのケースも同じだけたわむというのが答えである。もう読めてきたかと思うが、前回の問題でも事情は全く同じで、軸を何度傾けようと断面二次モーメントは一定なのである。出てきた数字に特に意味はなく、尤もらしく見せていただけである。初めは正八角形で問題を作ってみたが、それだとすぐバレると思ったので、ぱっと見分かりにくい正五角形に変更した次第である。

正方形、正五角形、正八角形の断面に限らず、「断面の図心を通る軸回りの断面二次モーメントは、軸の方向によらず一定である」ことは任意の正多角形断面について言えることである。それは、正多角形が対称軸を3つ以上持つことと、対称軸に関する断面相乗モーメントの特性を思い浮かべながら断面二次モーメントの座標変換式を見れば納得されるかと思われる。

この定理(?)をご存知の人にはバカバカしい問題であったかと思う。だがこれを応用すれば、ある一般式の導出が非常に容易になるので、次回はそれについて書いてみたい。こちらはそれほどバカバカしくもない内容である。


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コメント
任意の正n角形の断面2次モーメントがIx=Iyになるから、主軸の偏角αによらずIxy=0となるんだろう。
まではわかりましたが、最初のIx=Iyを力技で証明しようとして挫折中です。
意外に教科書に載ってない内容ですね。
whitefoxdot 2015.03.19 18:45 | 編集
神田霞「浜田先生、証明のヒントをください。」

浜田稔「鋼材の断面表に載っている断面の絵には、楕円が描かれているよ。」

神田霞「はぁ??」

というわけで(?)次回の記事は予定を変更して浜田稔大先生にご登場いただこうかと思います。

種明かしと一緒に、私の考えた怪しげな証明も書いてみようかと思います。
神田霞dot 2015.03.20 22:44 | 編集
http://ninetailsfox63.hatenablog.com/entry/2015/03/23/160751
何かいろいろこねくり回したらできたような気がします。極限値が円の断面2次モーメントになるところまで。
whitefoxdot 2015.03.23 16:11 | 編集
のんびりしているうちに先を越されてしまいましたね(笑)私も急ぎ書きました。

記事、拝見しました。掲載されている数式が原因なのか、表示にトラブりましたが何とか見れました。力作なので、詳細をこれから見てみます。
神田霞dot 2015.03.23 23:57 | 編集
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