2015
03.27

正多角形断面の断面二次モーメントを求める式

Category: 材力、構力
「正多角形の図心を通る軸についての断面二次モーメントが軸の方向によらず一定である」ことを利用すると、正多角形の断面二次モーメントの式を驚くほど容易に導くことが出来る。実はこれについて書きたいがために、二つの問題に前座を務めてもらったのである。

導出の際には、断面二次モーメントを直接求めるのではなく、断面二次極モーメントという「迂回路」を通るので、断面二次極モーメントについて復習しておこう。即ち、直交座標系(x, y)の原点についての断面二次極モーメントを Ip とすると、Ip = Ix + Iy であるから、Ix = Iy なら Ix = Ip / 2 である。

次なる準備として、正 n 角形を構成する三角形について考える。これは下図に示すように原点を頂点とし、その角が 2p/n の二等辺三角形である。外接円の半径を R で表している。正多角形の断面二次モーメントは向きによらないことを知っているので、向きについては全く気にしなくてよい。

isoTri.png


そして、この二等辺三角形の Ix と Iy を求めておくのだが、これについては結果を拝借させてもらうことにすると、以下の式のように書かれる。

art93_eq1.png

これらを軸の変換式に代入して足し合わせる代わりに、断面二次極モーメントに登場してもらう。

二等辺三角形の原点についての断面二次極モーメントは上記の二式を足したものである。正 n 角形はこの二等辺三角形と同じものが n 個あるわけだから、その断面二次極モーメントは n 倍するだけで求められる。それを 2 で割れば、目的の断面二次モーメント I が得られることになる。式にすると以下となる。

art93_eq2.png

この式は、断面二次極モーメントというバイパスを経由したおかけで足し算が出てきていない。つまり、n の値が大きくなっても項数は増えないので、プログラムを組まなくても計算できるのである。Excel でやるなら 3つのセル( n のセル、Rのセル、本式のセル)があれば十分だ。

式中には三角関数が出てきているので、表現方法は幾通りも考えられる。上記のように纏めたのは、これだと極限値を確認しやすいかと思ったからである。上式を以下のように変形すると、

art93_eq3.png

θ → 0 の時、sinθ/θ → 1、cosθ → 1 であるから、n → ∞ とすれば、

art93_eq4.png

これは円の断面二次モーメントの式と一致する。n = 3(正三角形)、n = 4(正方形)の場合も一応確認しておいたので、たぶん間違っては無いと思うのだが、どうだろうか?


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コメント
問題なさそうです。
私は力技で全部足し合わせる方式でしたが、同じ一般式になりました。
whitefoxdot 2015.03.29 10:48 | 編集
違うアプローチで同じ結果なら大丈夫そうですね。
「問題作成料」は山分けということで(笑)
神田霞dot 2015.03.30 00:28 | 編集
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