2018
01.06

「境界」には何かある?

Category: その他
"境界"には人の注意を引く何かがあるらしい。そのような二つの例を、かなりくだけた内容のものだが、以下に示そう。

一つ目は内藤多仲が"境界"で見せた行動についてである(文献 1 "樺太・シナ大陸ところどころ")。

昭和八年の夏ごろ、王子製紙会社は樺太敷香に人絹パルプ工場の建設をすることになり、私は同社の依頼を受け顧問役として建設に参画し、国境までも行く機会に恵まれた。 ...

或る日、寸暇を得て北緯五〇度の国境まで行ってみた。双方の守備兵が駐屯していることに不思議はないが、何となく緊張感をおぼえる。国境線にはちょっとした溝があり、そこに国境標が立っている。

私はその溝をまたいでソ連側にも一歩足跡を印したかっこうで、意味ありげにゆっくりとオシッコをしたが、そんなことが妙に忘れられない。

大先生にも随分子供じみた一面があったようだ。なお、念のために書いておくと、樺太は現在は日本の領土ではない。

二つ目は、「ソフトウェアの法則」の木下 恂氏の例(文献 2 "7. ソフトウェアと時差 - 技術格差について")。

 ところで、時差というと忘れてはならない話がある。アメリカにはフォーコーナーズ(Four Corners)という場所があって、そこへ行くといやでも時差のことを意識せざるを得ない。それはユタ、コロラド、アリゾナ、ニューメキシコという四つの州の州境が互いに直角に交わっている場所である。

アメリカ広しといえどもこのような場所はほかにない。この場所は砂漠の真ん中にあり(当然のことながら)付近には何もないところである。あるとき、私は物好きにもそこへ行ってみようと思い立った。

しかし砂漠の中の道を車で行けども行けども目的地に着かない。自分は何という馬鹿げたことをしているのかと時折後悔をしながらも、途中でやめるわけにもいかずひたすら運転を続けたのを覚えている。目的地に到着したのは午後五時近くになっていた頃である。

 フォーコーナーズにはタイル張りの簡単な標識があるだけであった。ここに来たかった理由は、時差を実際に体験してみたかったからである。これら四州は同じ時間帯(Mountain Time Zone)に属しているのだが、その時はアリゾナとユタは夏時間になっていて一時間進んでいたのである。

一方、コロラドとニューメキシコは夏時間を採用していなかった。そこで右手をコロラド州に、左手をユタ州に、右足をニューメキシコ州に、そして左足をアリゾナ州に置いて四つん這いになるとどうなるか。これを実際にやって体験してみたかったわけである。

 実際にやってみると、期待に反して(?)別に身体には何の異変も起こらない(何を期待していたのやら)。何となく潜在意識として時間のずれによって身体がひきちぎられる図を想像していたのかもしれない(宇宙科学の本の読み過ぎであろう)。

宇宙科学でいうところの"時空"が対象とする時間と、人間が便宜上定めた時間とはまったく別物であることを、愚かにもこのとき初めて思い知ったのである。

 しかし、このように四つん這いになった状態で「今、何時か?」と聞かれたら、私は何と答えるべきなのであろうか。この疑問には、四半世紀経った今でも答えを見いだせないでいる。...

これらの例は"錯覚"と言ってもよいようなものだが、建築における境界は重要な意味や役割を持つ部分(あるいは概念)であるように思われる。隣地との敷地境界といったリアルな問題は別にしても、「内」と「外」との境界や「聖」と「俗」との境界を意識して構成された空間や建物は多く存在する。

よく言われるように、日本の古くからの建築では内と外との境界が"緩く"作られている。まず踏み石があり、次に縁側があり、障子があり、畳の部屋へと至る。石 → 木 → 紙 → 畳という風に、外(自然)から内(人間または人工的なもの)へと移行する緩やかで連続的な変化が境界に織り込まれているのである。

これが意図的に構成されたのか、あるいは結果的にそのようになっただけなのか筆者にはよく分からない。だが、「共生」の黒川紀章が、この日本建築に見られる境界領域の構成を自作に応用したと書いているのを、彼の著書だったか雑誌の記事だったかで読んだ記憶がある。

古代エジプトなどの神殿に見られる"多柱室"なる空間は、俗界から神聖な場所への移行を演出する役割があり、実際にこの空間を通過する人はかなりの心理的なインパクトを受けるそうである。日本の神社の"千本鳥居"も同様と思われ、何重にも置かれた鳥居は日常とは別世界へと入っていく心理を生む仕掛けとなっている。

長々と書いてしまったが、以上は前振りである。「力学でも境界の扱いは重要ですよ」という話につなげるつもりであったが、長くなってしまうので後日に回すことにしよう(こちらが本題なのに)。前回の記事の後半でも境界について若干触れたが、今回の話はもっと実用的なものである。


参考文献

  1. 内藤多仲:日本の耐震建築とともに 雪華社 1965年

  2. 木下 恂:ソフトウェアの法則 - コンピュータの利用技術とは 中公新書 1995年





Comment:0  Trackback:0
2017
12.27

独立が叫ばれる時

Category: 材力、構力
以前、中国大陸をぐるりと列車で旅したことがある。寝台列車であったが、席は完全な個室ではなく、カーテンを開けて寝台に腰かければ、向かいの人と膝を突き合わせるややオープンなタイプのものであった。

筆者の向かいの席には2人の白人青年が座っていた。"膝を突き合わせる"空間内にいたので自然と話をすることになり、初めひとしきりお互いのことを紹介しあった。筆者が「どちらから?」と問うと(もちろん英語で)、2人同時に「スコラン!」との答え。一瞬「?」となったが、すぐに「ああ、スコットランドか」と了解した。

「末尾の t と d の音が殆ど聞こえないなぁ」ということも気になったが、「From the U.K. とか言わないのか」ということがもっと気になった。自分達はスコットランド人であるという意識が当然のようで、むしろ無意識な自覚であるように思われた。

といったことを思い出したのは、少し前にスコットランドで独立の是非を問う国民投票が行われたことがニュースになっていた頃である。イギリスは EU からの離脱を選んだが、スコットランドは EU に残りたいらしい。

その他経済的な観点からも独立にはある程度のメリットがあるようだ。しかし、そういったこと以上にもっと深いところで民族としてのアイデンティティが独立を希求する要因のようにも思われる。

純粋に民族として独立を望むことについて理屈は飲み込めても感覚的にはよく分からない。一民族としての意識といったものが筆者にはあまりないので、「独立とか帰属とかどっちでもいいんじゃないの?」と軽く考えてしまうのである。

他人を評価する時もナショナリティーは問題ではないし、海外で活躍する日本人の話を聞くと嬉しく思う半面、その人たちが日本人として評価されているわけではなくてあくまで個人として評価されているはずだと思うのである。

一方で、ここから急に力学の話になるが、力学上の"独立"かそうでないかについては筆者は人一倍気になる方である。前回の記事で採り上げたカスチリアーノの定理に話を戻そう。

ティモシェンコの本(文献 1 "61. Strain Energy and Castigliano's Theorem" )の脚注(p.290)は以下のように続く(拙訳と原文)。

カスチリアーノは、Pi は独立な力であると述べている。このことは、釣合い式を用いて計算される反力が、ひずみエネルギ V の計算において力 Pi の関数として与えられることを意味している。

Castigliano remarks that Pi are the independent forces. This means that reactive forces, which can be calculated by using equations of statics, are given as functions of the forces Pi in calculating the strain energy V.

荷重と反力は釣合う必要があるのでお互い独立な量ではない。それで、ひずみエネルギを求める時は釣合い式を使って反力を消去(荷重で表現)しておかないといけない。この独立云々について説明を省略している材料力学の本も結構見受けられる。一方で文献 2 は(材料力学の本ではないが)このことについてかなり突っ込んだ議論を展開している。

停留問題において従属関係にある量をあたかも独立であるかのように扱える方法と言えば、ラグランジュの未定乗数法がある。文献 2 にはこのラグランジュの未定乗数法を使ってカスチリアーノの定理を一般化する方法が示されている(付録 E カスティリヤーノの定理に関する一覚書)。

... この覚書では、"Su 部分で固定"という条件をゆるめ、"物体表面はすべて Sσ 部分よりなる場合"のカスティリヤーノの定理を考えてみたい。...

上記の Su とは幾何学的な境界のことである。単純ばりを例に言えば、ピンとローラーによって拘束される部分である。Sσ とは力学的な境界のことである。つまり、荷重の作用する部分である。

ピンとローラーの拘束の代わりに反力に当たる力を作用させたものを考えるのである。釣合い式にラグランジュの未定乗数を掛けてひずみエネルギに取り込めば、反力も独立であるかのように扱えるというわけである。

これと似た話が弾性論とか連続体力学力学とか呼ばれる分野にもある。それは、ひずみエネルギ関数(単位体積当たりのひずみエネルギをひずみ成分で表したもの)と応力との関係についてである。

ひずみエネルギ関数を A と書くことにすると、以下の式が成り立つ(文献 2 の p.26 を参照。面倒なのでここではテンソルで書いているが、文献 2 の式(2.61)はテンソルではない表記で書かれている)。

independency_fig1.jpg

一方、単なる数学的操作として以下の式も成り立つ。

independency_fig2.jpg

ではこれら二式から

independency_fig3.jpg

が成り立つとしてよいだろうか?

答えは否である。ひずみは 2 階テンソルで一般には 9 つ(3×3)の成分を持つ。9 つ全てが独立な場合は良いのであるが、通常は εij = εji の対称性を仮定して議論が進められる(余談だが、湯川秀樹はこの対称性の仮定が気に食わなかったようである)。即ち、ひずみの各成分は独立ではないので、上記のような展開は許されないのである。

もう一つ、有限要素法の分野にも筆者がずっと以前から気になっている"独立"絡みの話がある。それは、仮想仕事の原理を使って剛性方程式を導く過程で出てくるものである。

要素の剛性マトリックスを [k] 、節点変位ベクトルを {d} 、節点力ベクトルを {f} で表すとすると、仮想仕事の原理から一つの要素について、

independency_fig4_2.jpg

が成り立ち(上添え字の T は転置の意味)、{δd} は任意であるので

independency_fig5.jpg

という要素剛性方程式が導かれる、としている本が多いのだがこれでいいのだろうか?

そもそも仮想仕事の原理は構造全体に対して適用されるものであるし、上記の式は構造物内の一要素についての式であるので、自由端でもない限り節点は隣りの要素と共有しているか支持部の節点のはずである。仮想変位は、要素の境界での連続性の条件と支持部での拘束の条件を満足している必要があるので、 {δd} を任意には取りえないはずである。

{δd} が任意と言えるのは、上記の式を構造全体について寄せ集めて(その時に各要素の剛性マトリックスが重ね合わされる)然るべき境界条件を課した後ということにならないだろうか?上記のような展開を許すなら、各要素の剛性マトリックスの重ね合わせといったことも出てこないことになる。

以上、かなりマニアックな内容だが、ちょっと気になる力学の"独立"についての話を書いてみた。特に後半の内容は実務には全く無関係かも知れない。。。


参考文献

  1. S. P. Timoshenko : History of Strength of Materials, 1953

  2. 驚津久一郎 : エネルギ原理入門 有限要素法の基礎と応用シリーズ3 培風館 1980年





Comment:0  Trackback:0
2017
11.30

エレガントな別解

Category: 建築構造史
カスチリアーノの定理には二つあるが、今回の話題は変位を求める方のカスチリアーノの定理に端を発するものである。

この定理をかなり大雑把に説明すると、外力の関数として表現された構造物のひずみエネルギを着目する外力で偏微分するとその外力の作用点の変位が求まる、ということになる。

このことを、下図に示すような一本のフツーの棒を引張るという簡単な例で確認してみよう("フツー"とは均質で等断面 etc.といったこと)。この棒はフックの法則に従う材料で出来ているとすると、外力 P とたわみ y の関係も下右図に示すような線形である。

Engesser_fig1.jpg

比例定数を k とすれば、

Engesser_fig2.jpg

と書ける(軸剛性を EA、棒の長さを L とするなら k = EA/L)。たわみ y として表現すれば、

Engesser_fig3.jpg

である。外力がゼロから P まで増えた時にこの棒に蓄えられるひずみエネルギは、上右図の縦縞で示した部分の面積であるから、

Engesser_fig4.jpg

となる。これを P で微分すると、

Engesser_fig5.jpg

となり、たわみ y が求まることが確認できる。

例題として意図的に簡単なものを選んだが、実際上のもっと複雑な問題にカスチリアーノの定理を使う時には気を付けないといけないことが幾つかある。例えば、ティモシェンコの本(文献 1)の "61. Strain Energy and Castigliano's Theorem" の脚注(p.290)には以下のような記述がある。

カスチリアーノは、Pi は独立な力であると述べている。 ...

Castigliano remarks that Pi are the independent forces. ...

荷重が複数ある場合は、それらは独立であるという条件が付いているのである。

また、外力と変位の関係が線形でない場合にもカスチリアーノの定理は適用できないことにも注意しよう。これについて見るために、上記の一本棒の問題を少し拡張してみよう。どのように拡張するかというと、外力 P が以下のようにたわみ y の指数関数で表されるとするのである(これは、文献 2 の Chapter 5 "Energy methods" に示されているもの)。

Engesser_fig6.jpg

式中の k と n は定数である。先に見た例は、n = 1 として本ケースに含まれる。ひずみエネルギを P の関数として表す準備として先に dy を dP で表しておくと、

Engesser_fig7.jpg

である。これを用いてひずみエネルギは、

Engesser_fig8.jpg

となる。これを P で微分すると、

Engesser_fig9.jpg

が得られる。これは、指数 n が 1 の時は y と一致するが、n = 1 以外では y とは異なることが分かる。外力と変位の関係が非線形な場合にカスチリアーノの定理は使えないのである。

では、非線形な場合はどうすればよいのだろうか?それに答えたのが、前回引用したエンゲッサー(F. Engesser)である。そしてそのアプローチは意外なほどシンプルでエレガントである。

カスチリアーノの定理では、ひずみエネルギが使用される。これに対してエンゲッサーが着目したのはコンプリメンタリエネルギである。

下図の「縦の短冊」を積分したのがひずみエネルギだが、「横の短冊」を縦軸に沿って積分した量に当たるのがコンプリメンタリエネルギ(コンプリメンタリひずみエネルギ、補ひずみエネルギ、補足エネルギ、など呼び方は色々ある)である。

Engesser_fig10.jpg

一本棒の例におけるひずみエネルギ U とコンプリメンタリエネルギ V を式で表すと以下のようになる。

Engesser_fig11.jpg

物理的な意味を考えるとひずみエネルギに着目してしまう。だが、物理的な意味などに頓着しない数学星人に変位を求めて下さいと尋ねれば、以下のように迷わずコンプリメンタリエネルギを微分するだろう。

Engesser_fig12.jpg

実に簡単に変位が求まってしまった。ここに P と y が線形であるとかないとかの条件は何も入っていない。つまり非線形にも適用できるということになる。

「横の短冊」に着目するのは簡単なように思えるが、常人にはなかなか思いつくものではないのではないか。よく気が付いたなエンゲッサー、と感心してしまうが、この成果は発表当時(そしてその後ずっと)殆ど誰からも相手にされなかったようだ。

その理由はウエスタガード(H. M. Westergaard)によると、まだ線形問題が中心で非線形問題を扱うまでに至っていなかったからだそうである。文献 3 には以下のような記述がある(拙訳と原文)。

エンゲッサーの理論は、フックの法則を超える領域にも適用される。カスチリアーノの方法を含むだけでなく、特殊な応用として温度応力に関するミュラーブレズローの手法をも含んでいる。

1912 年に Gruening がこの分野のレビューでエンゲッサーの仕事を引用して論じているが、それ以外は殆ど注目されていない。

これについての尤もらしい説明は、これまでの構造解析の主たる関心は比例限以下の応力にあるのであり、座屈や振動への応用は認識されていなかったからである。

Engesser's theory applies beyond the range of Hooke's law; it includes not only Castigliano's method but also Mueller-Breslau's procedure for tempeature stresses as special applications.

In his review of the field in 1912 Gruening quoted and discussed Engesser's contribution, but otherwise it had received little attention.

A plausible explanation is that structural analysis has been concerned mainly with stresses below the propotional limit, and the applicability to buckling and vibrations had not been realized.

エンゲッサーが彼の理論を発表したのが 1889 年。ウエスタガードがその埋もれた功績に光を当てたのが 1942 年。実に 50 年以上の時間が流れている。ウエスタガードの論文にはエンゲッサー理論のちゃんとした説明(本記事のように大雑把なものではない)が出ているので、興味のある方は参照されたい。応用例としてトラスの問題と柱の座屈問題が示されている。ティモシェンコは文献 1 でウエスタガードを引用しているが、例題としては、下図のようなピンで結合された2本の棒の変位を求める問題を挙げている。


Engesser_fig13.jpg


参考文献

  1. S. P. Timoshenko : History of Strength of Materials, 1953

  2. T. H. G. Megson : Aircraft Structures for Engineering Students, 6th edition.

  3. H. M. Westergaard : On the method of complementary energy and its application to structures stressed beyond its proportional limit, to buckling and vibrations, and to suspension bridges, Proccedings of the American Society of Civil Engineers, Vol. 68, No. 2, Transaction No. 107, p. 765-793, 1942.






Comment:0  Trackback:0
back-to-top